Cerrado $\iff$ subespacio débilmente cerrado

Question

En este enlace http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst_2004;task=show_msg;msg=1414.0001 es el argumento de que un subespacio lineal en un espacio normado es cerrado con respecto a la norma si es débilmente cerrado.

Por otro lado, $c_0$ (secuencias convergentes a $0$ ) es un subespacio lineal de norma cerrada de $l_\infty$ (secuencias acotadas), pero no es débilmente cerrada, ya que los vectores base $e_i$ son débilmente densos en $l_\infty$ .

Como estudié func.an. hace bastante tiempo, mi pregunta es: ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Edición: la respuesta anterior era errónea. Abajo hay una nueva versión .

Convergencia débil de una red $\{x_n\}$ a $1\in\ell^\infty$ significa que, para cualquier función $\varphi$ en el dual de $\ell^\infty$ , $\varphi(x_n-1)\to0$ .

Podemos ver $\ell^\infty$ como $C(\beta\mathbb N)$ las funciones continuas en la compactificación Stone-Cech de $\mathbb N$ . Sea $\omega\in\beta\mathbb N\setminus\mathbb N$ (en otras palabras, $\omega$ es un ultrafiltro libre). A continuación, $1(\omega)=1$ y $x(\omega)=0$ para todos $x\in c_0$ . Así que tenemos, dejando $\varphi_\omega$ sea la evaluación del punto en $\omega$ , $$ \varphi_\omega(x-1)=\varphi_\omega(x)-\varphi_\omega(1)=0-1=-1, $$ y así no hay red en $c_0$ hará que el límite llegue a cero. Esto significa que $c_0$ no es débilmente denso en $\ell^\infty$ . La densidad de estrellas débiles funciona porque hay que lidiar con menos funcionales.

Como se ha mencionado, el teorema de Hahn-Banach garantiza que $c_0$ (siendo convexo) es tanto norma como débilmente cerrado.

Answer 2

$c_0$ no es débilmente denso en $\ell_\infty$ . En efecto, dejemos que $u:=\sum_{k=0}^{+\infty}e^{2k}$ , donde $e^k_j:=\delta_{kj}$ . Toma un Límite de Banach $L$ . Entonces $$U:=\{x\in\ell_\infty, |L(x-u)|<1/3\}$$ es una vecindad de $u$ en la topología débil. Si $x\in U\cap c_0$ entonces $L(x)=0$ Por lo tanto $|L(u)|<1/3$ . Es una contradicción, ya que $L(u)=1/2$ .

Answer 3

Hay un hecho fundamental sobre los conjuntos convexos en espacios localmente convexos (y, en particular, en espacios lineales normados) que dice que un conjunto convexo es cerrado si y sólo si es cerrado en la topología débil (la topología de convergencia en la (continua) dual. OJO: la convergencia es de redes, NO de secuencias. Además, todo espacio tiene una topología débil ya que todo espacio tiene un dual continuo (aunque posiblemente sólo el vector cero). A VECES hay una topología débil* si el espacio en cuestión es a su vez un dual, pero sólo entonces.