La función inversa de a $y=x+kx^3$

Question

Quiero invertir la siguiente función con respecto a $x$:

$$f(x, k)=x+k x^3$$

donde los valores típicos para $x$ entre $0$ $100$ y valores típicos para $k$ entre $-0.00005$$0.00005$. Además, se sabe que:

$$k >-\frac{1}{3x^2}$$

por lo tanto, la función debe ser invertible. Los derivados de:

$$\begin{align}\frac{df}{dx}&=1+3kx^2\\ \frac{df}{dk} &= x^3\end{align}$$

no son negativos para todos los valores posibles de x y k. Así que la Función $f$ es monótonamente creciente en ambas dimensiones.

Necesito la función de $g(y, k)$, de modo que $g(f(x, k), k) = x$ todos los $x$ y todos los $k$.

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Lo que he intentado: La siguiente función devuelve los valores correctos para todos los $k>0$. Para el negativo $k$ no funciona (devuelve los números complejos).

$$w = \sqrt[3]{\frac{y}{2 k} + \sqrt{\frac{y^2}{4 k^2} + \frac{1}{27 k^3}}}\\ g(s,k) = w - \frac{1}{3 kw}$$

Answer 1

Bueno, lo he conseguido.

El uso de la segunda solución de WolframAlpha, y desechando la parte imaginaria, hace el trabajo para el negativo $k$. Como ambas soluciones no funcionan para $k=0$ I tiene la siguiente solución:

function [ x ] = im2w( y, Kappa )
    if abs(Kappa) < 1e-10
        x = y / (1 + Kappa *  (y' * y));
    elseif(Kappa > 0)
        direction = y/norm(y);
        w = nthroot(norm(y)/(2*Kappa) + sqrt((y'*y)/(4 * Kappa^2) + 1/(27*Kappa^3)), 3);
        x = direction * (w - 1./(3*Kappa*w));
    elseif(Kappa < 0)
        direction = y/norm(y);
        y = norm(y);
        x_wa2 = (1-1i * sqrt(3))/(2^(2/3) * 3^(1/3) * (9 * Kappa^2 * y+sqrt(3) * sqrt(27 * Kappa^4 * y^2+4 * Kappa^3))^(1/3))-((1+1i * sqrt(3)) * (9 * Kappa^2 * y+sqrt(3) * sqrt(27 * Kappa^4 * y^2+4 * Kappa^3))^(1/3))/(2 * 2^(1/3) * 3^(2/3) * Kappa);

        x = direction * real(x_wa2);
    else
        x = [0; 0]; % should not happen
    end
end

Este es el Código de Matlab (lo siento), pero que da resultados para todas las combinaciones posibles para$k$$x$. La restricción para $k$: $$ k > -\frac{4}{27 y^2} $$ No estoy seguro de si yo estaba equivocado, o la diferencia es debido a que utiliza x, wheres WA usa y.