En Calc la clase, mi profesor nos dijo que la única solución a $y' = y$$y = ce^x$, $c$ ser un número real. Estoy teniendo dificultades para entender la única parte. Hay una prueba de ello? O me estoy perdiendo algo que es obvio?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tuomas Laakkonen
Puntos
188
Tenemos $y'=\frac{dy}{dx}=y$ donde $y$ es una función de $x$. Por lo tanto, reordenando la ecuación,
\begin{align} \frac{dy}{y}=dx\,. \end{align}
Integrando con respecto a $x$ a cada lado,
\begin{align} \int\frac{dy}{y}=\int dx\implies \ln(y)=x+C\,, \end{align}
donde $C$ es una constante de integración. Exponentiating ambos lados,
\begin{align} e^{\ln(y)}=e^{x+C}=e^Ce^x\,. \end{align}
Como $e^C$ es sólo una constante, vamos a volver a etiquetar $c$. También tenga en cuenta $e^{\ln(y)}=y$. Por lo tanto $y=ce^x$.
Probablemente, hay una manera más formal a ver por qué $y=ce^x$, pero espero que esta explicación ayuda.
Curious
Puntos
569
El libro de Cálculo de Tom Apostol define ln(y) como $\ln(y) =\int \frac{1}{y} dy$. Usando esta definición, la respuesta es clara como $\int \frac{dy}{y}= \int dx \implies \ln(y) = x+C $.
La siguiente es una parte de cómo $\ln(y)$ está definido. Considere la posibilidad de una ecuación tal que $f(xy)=f(x)+f(y)$ Podemos ver que la única solución válida para toda la recta real es de $f(x)=0$ Consideremos ahora una función que no está definida en $0$.
El dominio contiene 1 A continuación, $f(xy)=f(x)+f(y) \implies f(1)=2f(1)$ $f(1)=0$
$f(1)=f(-1*-1)=2f(-1)=0$
Por lo $f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)$, por lo que la función es par.
Ahora considere el $ f'(xy)$ fijos $x$
Por la regla de la cadena: $y f'(xy)=f'(x)$ como y se trata como una constante
Al $x=1$ esto nos da $y f'(y)=f'(1)$
Por eso, $f'(y)=f'(1)\frac{1}{y}$
Aquí podemos observar que la $f'$ es monótona y por lo tanto integrable en todo intervalo cerrado que no contengan $0$.
$f(x)-f(c)=\int_c^xf'(t) dt=f'(1)\int_c^x\frac{1}{t}dt$
Esta ecuación se aplica en el caso de $x$ $c$ son tanto graeter de $0$ o menos de $0$. Por un positivo $x$ $c=1$
$f(x)=f'(1)\int_1^x \frac{1}{t}dt$
COMO $f(x)$ es una función que puede tener la definición $f(x)=f'(1)\int_1^{|x|}\frac{1}{t}dt$
Por lo tanto, la solución a esta ecuación es de la forma $f(x)=C\int_1^{|x|}\frac{1}{t}dt$ donde $c \neq 0$
La definición de $\ln$ es de $C=1$ pero la solución sería de la forma señalada anteriormente es decir, de la forma $C \ln(x)$.
De esta manera $\ln$ se define como $\int_1^{|x|}\frac{1}{t}dt$ que es coherente con su definición como inversa de exponente. Tenga en cuenta que la inversa de exponente definición no es fácil de explicar para irracional valores de$\ln (x)$, En este sentido, esta función es una función continua, que es una extensión de la definición habitual.
