Puede conjuntos de cardinalidad $\aleph_1$ tienen distinto de cero de la medida?

Question

$\aleph_1$ es la cardinalidad de los contables de los números ordinales. Es el menos número cardinal mayor que $\aleph_0$, y suponiendo que la hipótesis continua es igual a $\mathfrak{c}$, la cardinalidad de los números reales.

Mi pregunta es, es posible que todas las $\aleph_1$ subconjuntos de a $\Bbb{R}$ a tiene medida de Lebesgue $0$? Este es, por supuesto, imposible asumiendo la hipótesis continua, porque entonces todos los conjuntos de números reales habría medida $0$, lo cual es absurdo. Pero es $\mathsf{ZFC}$ + $\lnot\mathsf{CH}$ + "todo subconjunto de a $\Bbb{R}$ de cardinalidad $\aleph_1$ tiene medida de Lebesgue $0$", de acuerdo? Si no, lo que si hemos sustituido medida de Lebesgue con alguna otra medida?

Cabe señalar que, aunque pueden ser subconjuntos de a $\Bbb{R}$ con cardinalidad $\aleph_1$, no existen subconjuntos de a $\Bbb{R}$ que tienen la orden de tipo $\omega_1$ (el orden de tipo de los contables ordinales) en virtud de la costumbre de comprar en la $\Bbb{R}$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de Antemano.

Answer 1

Por supuesto, asumiendo CH se puede. Pero si $\aleph_1 < 2^{\aleph_0}$ a continuación, no es medible conjunto de cardinalidad $\aleph_1$ positivo medida de Lebesgue, así que la respuesta a la pregunta del título es no. Podemos probar el siguiente en ZFC sin necesidad de otros axiomas.

La proposición (ZFC). Cada innumerables subconjunto de Borel $\mathbb{R}$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$.

Este es un corolario de la serie Perfecta Teorema (cada innumerables Borel set contiene un conjunto perfecto, es decir, un conjunto de puntos aislados, y cualquier conjunto de cardinalidad, al menos,$2^{\aleph_0}$). Para una prueba, véase el Teorema 13.6 de Kechris del Clásico Descriptivo de la Teoría de conjuntos.

Corolario (ZFC). Cada Lebesgue medibles subconjunto de $\mathbb{R}$ con cardinalidad menos de $2^{\aleph_0}$ tiene medida de Lebesgue cero.

Prueba. Cada Lebesgue medibles set $E$ puede ser escrito $E = B \cup N$ donde $B$ es Borel y $m(N) = 0$; en particular,$m(E) = m(B)$. Pero si $|E| < 2^{\aleph_0}$$|B| < 2^{\aleph_0}$, de modo que por la proposición anterior $B$ es contable y, por tanto,$m(B) = 0$.

Answer 2

Un modelo muy sencillo de "$2^{\omega} > \omega_1$ y cada conjunto de reales de tamaño $\omega_1$ es nulo" es el de Cohen modelo original para el fracaso de CH. Se obtiene mediante la adición de $\omega_2$ Cohen reales - es decir, obligando a con $Fn(\omega_2, 2)$. La prueba utiliza el hecho de que la adición de un Cohen real que hace que el conjunto de old reales null. La categoría analógica de esto se puede obtener mediante la adición de $\omega_2$ aleatorios reales - es decir, forzando con la medida habitual de álgebra en $2^{\omega_2}$.

Answer 3

El siguiente resultado es debido a Martin y Solovay, y se puede encontrar en Jech de la Teoría de conjuntos (3er Milenio edición) como teorema de 26.39.

Si el Axioma de Martin se mantiene, entonces la unión de menos de $2^{\aleph_0}$ nulo es nulo, y la unión de menos de $2^{\aleph_0}$ escasos conjuntos es escasa.

De ello se sigue, si es así, que en virtud de la $\sf ZFC+MA+\lnot CH$ la unión de $\aleph_1$ singleton tiene medida cero, de modo que cada conjunto de tamaño $\aleph_1$ tiene medida cero.

Basta, si es así, para mostrar que $\sf ZFC+MA+\lnot CH$ es una constante en la teoría (en relación a la consistencia de la $\sf ZFC$, por supuesto). Este es un resultado de Solovay y Tennenbaum, que aparece en el mismo libro como Teorema de 16.13.

Suponga $\sf GCH$ y deje $\kappa$ ser un habitual de cardinal mayor que $\aleph_1$. Hay un c.c.c. noción de forzar $P$ de manera tal que la extensión genérica $V[G]$ $P$ satisface el Axioma de Martin y $2^{\aleph_0}=\kappa$.

Tomando, por ejemplo, $V=L$ como el modelo de terreno y $\kappa=\aleph_2$, el resultado es un modelo en donde la continuidad es $\aleph_2$ y la unión de $\aleph_1$ null conjuntos es un conjunto null.