Mapa entre la Tangente Colectores Bien Definida?

Question

Deje $f: \mathcal{M} \to \mathcal{N}$ $\mathscr{C}^{r+1}$ mapa. Se define un mapa de $\mathscr{T}f: \mathscr{T}\mathcal{M} \to \mathscr{T}\mathcal{N}$ como sigue:
Un local de representación del mapa de $\mathscr{T}f$ en las listas de éxitos en $\mathscr{T}\mathcal{M}$ $\mathscr{T}\mathcal{N}$ es simplemente la derivada de la representación local de $f$ en las listas de éxitos $\{\psi_i,U_i\}_{i \in \Lambda_1}$$\{\theta_i, V_i\}_{i \in \Lambda_2}$$\mathcal{M}$$\mathcal{N}$, respectivamente. Tenemos el requisito de que $f(U_i) \subset V_i$. Así pues, tenemos una $\mathscr{C}^r$ mapa $$ (\mathscr{T}f)_{ij}: \mathscr{T}U_i \to \mathscr{T}V_i$$ $$ [x,i,a] \mapsto [f(x),j,\partial(\theta_jf\psi^{-1}_i)(\psi_i(x))a] $$ Ya que esto es independiente de la $i,j$, hay una bien definida mapa de $\mathscr{T}f: \mathscr{T}\mathcal{M} \to \mathscr{T}\mathcal{N}$, por lo que si $f(x) = y$, $\mathscr{T}_xf: \mathscr{T}_x\mathcal{M} \to \mathscr{T}_y\mathcal{N}$.

Ahora mis dos preguntas son, ¿por qué debemos exigir que $f(U_i) \subset V_j$ para nuestras cubiertas? También, ¿por qué es el mapa de $(\mathscr{T}f)_{ij}$ independiente de $i,j$? Me dijeron que esta es una aplicación de la regla de la cadena, pero no acabo de verlo.

Answer 1

Respuesta a la primera es técnica. Si tomamos $U_i$ demasiado grande, entonces el mapa definido como ya se ha hecho $$(\mathscr{T}f)_{ij}: \mathscr{T}U_i \to \mathscr{T}V_j$$ $$[x,i,a] \mapsto [f(x),j,\partial(\theta_jf\psi^{-1}_i)(\psi_i(x))a],$$

no tendría mucho sentido, porque para $x\in U_i\setminus f^{-1}(V_j)$ punto $y=f(x)$ no iba a mentir en $V_j.$ sin Embargo si nuestra cobertura $\{U_i\}$ sería arbitrario, entonces por el hecho de que $f$ es continua podemos encontrar uno nuevo que sería suficiente. Acaba de tomar cubriendo $\{U_i\cap f^{-1}(V_j)\}$ ejecución para todos los $i,j.$

Para el segundo fix $x\in U_{i_1}\cap U_{i_2}$ y recuerda que el $[x,i_1,a_1]=[x,i_2,a_2]$ si $\partial(\psi_{i_2}\circ\psi_{i_1}^{-1})(\psi_{i_1}(x))a_1=a_2.$ por lo tanto en un lado $$[x,i_1,a_1] \mapsto [f(x),j,\partial(\theta_jf\psi^{-1}_{i_1})(\psi_{i_1}(x))a_1]$$ y en el otro lado $$[x,i_2,a_2] \mapsto [f(x),j,\partial(\theta_jf\psi^{-1}_{i_2})(\psi_{i_2}(x))a_2].$$ Por el mencionado hecho, tenemos que $\partial(\psi_{i_2}\circ\psi_{i_1}^{-1})(\psi_{i_1}(x))a_1=a_2.$ Enchufe en el segundo lugar, utilizar la regla de la cadena y tiene la primera. Similar truco con $j.$