Deje $M^n$ ser suave, un colector y $g$ ser una métrica de Riemann en $M$.
Hay $\omega \in \Omega^1(M)$ tal que $\int_c \omega = \ell(c)$ por cada curva en $M$?
En general, la respuesta parece ser no. En Spivak es Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial (volumen $1$) que le da a este argumento para $\Bbb R^2$ con la métrica usual: si $\omega$ es un no-cero formulario, a continuación, $\ker \omega$ es un unidimensional de distribución en $\Bbb R^2$ - y cada curva contenida en una integral submanifold de $\ker \omega$ tendrá de longitud cero.
Si en el caso general, consideramos $\omega$ un no-cero formulario, a continuación, $\ker \omega$ $(n-1)-$dimensiones de la distribución en $M$, lo que, por Frobenius teorema, será integrable si y sólo si $\omega \wedge {\rm d}\omega = 0$ (ver por ejemplo aquí). Si tal condición tiene que proceder como en el $\Bbb R^2$ de los casos (en los que la condición se tiene trivialmente).
Pero no veo razón para que la condición necesariamente. Hay un ejemplo de colector con una forma parecida a esta?
Esto también me lleva a preguntarme (de aquí en adelante es principalmente de alimento para el pensamiento y voy a ser feliz con la pregunta anterior respondió):
lo que si $g$ es pseudo-Riemann? La posibilidad de lightlike curvas en la integral submanifold parece que el razonamiento de arriba fallan.
lo que si nos fijamos en energía en lugar de la longitud? La situación parece ser la misma, pero la energía depende de la parametrización, que termina dependiendo de un sistema de coordenadas (ok, tal vez que la segunda pregunta no es tan interesante, después de todo)
