¿Cómo puedo minimizar $\|Axx^T-A\|$ ?

Question

¿Cómo se puede minimizar la siguiente ecuación sobre $x$ ?

$$f(x)=\|Axx^T-A\|_2^2$$

donde $A$ es un $n\times n$ matriz de rango completo y $x$ es un $n\times 1$ vector de columnas. La norma es la norma de Frobenius.

Intenté sustituir $Ax$ pero no encuentra una solución adecuada. ¿Podemos utilizar de alguna manera la desigualdad de Cauchy Schwarz en este caso?

Answer 1

Tenemos que $\|B\|_2^2=\textrm{tr}\, B^*B=\sum s_j(B)^2$ donde el $s_j$ son los valores singulares de $B$ . Usted está interesado en $\|A(1-cP)\|_2^2$ Aquí, escribo $P$ para la proyección sobre $L(x)$ y $c=\|x\|^2$ .

Como acabamos de observar, podemos reescribirlo como $$\textrm{tr}\, (1-cP)A^*A(1-cP) = \textrm{tr}\, A^*A + (c^2-2c)\textrm{tr}\, PA^*AP .$$ Observe que $\textrm{tr}PC(1-P)=0$ porque puedo viajar dentro de un rastro. Para minimizar esto, primero tomamos $c$ para que $c^2-2c$ se convierte en mínimo, por lo que $c=1$ . Entonces debemos maximizar $\textrm{tr}\, PA^*AP$ . Así que tomamos $P$ como una proyección sobre un vector propio de $A^*A$ que pertenece al mayor valor propio.

Su mínimo es igual a $\sum_{j\ge 2} s_j(A)^2= \|A\|_2^2-s_1(A)^2 = \|A\|_2^2-\|A\|^2$ . Aquí, $s_1(A)=\|A\|$ es el mayor valor singular, que es igual a la norma del operador.