Le he pedido a la cuestión de fondo aquí, que aún queda sin respuesta.
Ahora tengo una más precisa de la pregunta. En mi tarea que me han hecho para demostrar que
$$\left| \sum_{1\leq n \leq N} a_f (n)e^{2\pi i n \alpha}\right| \leq c_f N^{k\over 2}\log N $$
para cualquier $ f \in S_k $ donde $ f(\tau) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_f (n)q^n $, real $ \alpha $ y cualquier $ N \geq 10 $.
Que he probado.
Ahora tengo que deducir que tenemos el mismo límite para los coeficientes restringido a cualquier progresión aritmética - que es para cualquier $ 1 \leq q \in \mathbb Z $$ a \pmod q$ , tenemos: $$\left| \sum_{1 \leq n \leq N , n \equiv a \pmod q} a_f (n)\right| \leq c_f N^{k \over 2} \log N .$$
Alguien puede darme una pista sobre eso? Sé que los coeficientes pueden cambiar de signo y realmente no sé cuando, para un subconjunto de ellos suma a algo más grande.
