Calcular el polinomio mínimo y característico de $T$ dado el $F[x]$ -estructura

Question

La pregunta que tengo (modificada del problema original) es la siguiente:

Diga $ V =\mathbb{C}[x]/(x-2) \oplus \mathbb{C}[x]/(x^2)$ . ¿Cuál es el polinomio mínimo y característico de la transformación lineal correspondiente $T: V \to V$ donde $ T $ es la multiplicación por $ x $ ?

Tengo problemas para convertir el $ \mathbb{C}[x] $ -estructura modular de $V$ volver a $T$ . En particular, me cuesta entender o ver lo que $ T $ es como, o cómo $ V$ mirar como $ \mathbb{C} $ -espacio vectorial. Me resulta muy confuso.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $V$ es un espacio vectorial formado por polinomios de la forma $(p(x),q(x))$ modulo las relaciones apropiadas. En realidad, los elementos son $(p(x) + (x-2),q(x) + (x^2))$ (Omito los ideales por comodidad). $V$ tiene la base $$ \mathcal B = \{(1,0),(0,x),(0,1)\} =: \{v_1,v_2,v_3\} $$ Para ver que se trata realmente de una base, observe que cada elemento de $V$ puede expresarse unívocamente como $$ (p(x),q(x)) = (a_0, b_1x + b_0) = a_0(1,0) + b_1 (0,x) + b_0(0,1) $$ Encontramos que $$ T(v_1) = x(1,0) = (x,0) = (2,0) = 2v_1\\ T(v_2) = x(0,x) = (0,x^2) = (0,0) = 0\\ T(v_3) = x(0,1) = (0,x) = v_2\\ $$ Con ello, encontramos que la representación matricial de $V$ con respecto a esta base es $$ \pmatrix{2&0&0\\0&0&1\\0&0&0} $$ Espero que eso ayude.

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Tanto el polinomio mínimo como el característico serán $x^2(x-2)$ .

Answer 2

Por la CRT, $\mathbb{C}[x] / (x - 2) \oplus \mathbb{C}[x] / (x^2) \cong \mathbb{C}[x] / (x^2(x - 2))$ . Los polinomios min y char son por tanto $x^2(x - 2)$ .

Answer 3

Para cada sumando $\def\C{\Bbb C}\C[x]/P$ con $P\in\C[x]$ monic, la matriz en la base de (imágenes de) monomios $x^i$ para $0\leq i<\deg P$ de multiplicación por (la imagen de) $x$ es el matriz de acompañamiento para $~P$ . Tiene polinomios mínimo y característico ambos iguales a $~P$ . Todo lo que necesitas hacer es tomar el producto de estos factores $~P$ para el polinomio característico, y su mínimo común múltiplo para el polinomio mínimo. En el ejemplo los dos polinomios son relativamente primos, por lo que da el mismo resultado en ambos casos.