En $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^2+2}$ ¿converger?

Question

Estoy tratando de averiguar si

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^2+2}$$

¿es convergente o divergente?

Answer 1

Dejemos que $s \in (0,1)$ . Desde $\displaystyle \lim_{n \to\infty}n^{-s}\ln n=0$ hay un número entero $k=k(s) \in \mathbb{N}$ tal que $$ n^{-s}\ln n \le 1 \quad \forall n > k. $$ De ello se desprende que $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n^2+2}\le\sum_{n=1}^{k}\frac{\ln n}{n^2+2}+\sum_{n>k}\frac{1}{n^{2-s}}\le \sum_{n=1}^{k}\frac{\ln n}{n^2+2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2-s}}<\infty. $$

Answer 2

Claramente $$ \frac{\ln(n)}{n^2+2}\leq \frac{\ln(n)}{n^2} $$ Se puede aplicar la prueba integral para demostrar que $\sum\frac{\ln(n)}{n^2}$ converge. Sólo hay que comprobar que $\frac{\ln(n)}{n^2}$ es decreciente. Pero, la derivada es claramente negativa para $n>e$ .

Answer 3

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln(n)}{n^2+2}}$$ claramente $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln(n)}{n^2+2}}<\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln(n)}{n^2}}$$ Tenemos $$\ln{n}<\sqrt{n}$$ porque $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{2\sqrt{n}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2\sqrt{n}}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^{1/2}}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n^{1/2}}=0$$ como $$\ln{n}<\sqrt{n}\rightarrow\frac{\ln{n}}{n^{2}}<\frac{\sqrt{n}}{n^{2}}=\frac{n^{1/2}}{n^2}=\frac{1}{n^{3/2}}$$ Pronto Por lo tanto, tenemos $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{3/2}}}$ es una serie hiperarmónica (serie p) con $ p> 1 $ por lo que es convergente. Por prueba de comparación y por $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln{n}}{n^2+2}}<\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln{n}}{n^2}}<\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{3/2}}}$$ Tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\ln{n}}{n^2+2}}$$ es una serie convergente.

Answer 4

La serie se puede estimar por términos de la siguiente manera: \begin {eqnarray} \frac { \ln (n)}{n^2 + 2} & \leq & \frac { \ln (n)}{n^2} = \ln (n) e^{-2 \ln (n)} = 2 \cdot \frac {1}{2} \ln (n) e^{-2 \ln (n)} \leq 2 \cdot \bigg [ \sum_ {k=0}^ \infty \frac {1}{k!} \bigg ( \frac {1}{2} \ln (n) \bigg )^k \bigg ] e^{-2 \ln (n)} \\ & = & 2 \cdot e^{ \frac {1}{2} \ln (n)} e^{-2 \ln (n)} = 2 \cdot e^{- \frac {3}{2} \ln (n)} = 2 \cdot n^{-3/2} \ . \end {eqnarray} Ahora la serie converge porque es no negativa y tiene un mayorante convergente.

Answer 5

$\forall \alpha,\beta >0, \exists x_0 \in \mathbb{R}^+$ tal que $\forall x>x_0$ : $$(\ln x)^\alpha < x^\beta$$ Configuración $\alpha=1,\beta=\frac{1}{2} $ demostrará que la suma es convergente.