$f_n \to f$ en casi todas partes y $\int |f_n| \to \int |f|$ implica $\int |f_n - f| \to 0$?

Question

Supongamos $f_n$ $f$ son integrables, $f_n \to f$ en casi todas partes, y $\int |f_n| \to \int |f|$. No necesariamente se sigue que$$\int |f_n - f| \to 0?$$

Answer 1

Sugerencia:

Puedo suponer , por los siglos de $n=1,2,\cdots$ $$\|f_{n+1}-f_{n}\|_1\le 2^{-n} M$$ Conjunto $$h_n=\sum_{k=1}^{n}|f_k-f_{k-1}|=|f_1|+\sum_{k=2}^{n}|f_k-f_{k-1}|$$ por lo tanto $$\int_{\Omega}h_nd\mu=\|f_1\|_1+\sum_{k=2}^{n}\|f_k-f_{k-1}\|_1$$ $$\int_{\Omega}h_nd\mu=\|f_1\|+\sum_{k=1}^{n-1}\|f_{k+1}-f_{k}\|_1$$ $$\int_{\Omega}h_nd\mu\le\|f_1\|+M\sum_{k=1}^{n-1}2^{-k}<M+\|f_1\|_1$$ podemos decir que es Integrable función de $h$tal que ${{h}_{n}}\uparrow h$ y $$|f_n|=|\sum_{k=1}^{n}(f_k-f_{k-1})|\le \sum_{k=1}^{n}|f_k-f_{k-1}|=h_n\le h$$ Ahora usted debe mostrar $f\le h$, luego tenemos $$|f_n-f|\le|f_n|+|f|\le 2h$$ De hecho $$\int_{\Omega}(f_n-f)d\mu\to 0$$