He leído esto:
Deje $(M,g)$ ser un equipo compacto de Riemann colector y deje $W$ ser un vector paquete (rango $n$) $M$ $h_W$ un paquete métrica de $W$ $D$ un paquete de conexión de $W$.
Elijo $W$ a ser el trivial vector paquete de $M \times \mathbb{R}$.
Deje $V=T^0_0 M \otimes W = W$ ser el vector paquete de $W-$valores de (0,0)-tensores en $M$.
Dotar a $V$ con el paquete métrica $$h := (\cdot, \cdot)^0_0 \otimes h_W$$ donde $(\cdot, \cdot)^0_0 := g^{\otimes 0}\otimes g^{*\otimes 0}$ es el paquete de métrica en la $T^0_0M$ inducida por $g$. Equipar $V$ con la métrica de conexión $$\nabla = \nabla(\nabla_g, D)$$ inducida por la de Levi-civita de conexión de $M$ y la conexión$D$$W$.
De ello se desprende que $\nabla u = Du$$u \in \mathcal{T}^0_0(M, W)$.
- Estoy en lo cierto que en mi caso $h = h_W$? Estoy muy confundido acerca de cómo la notación debe ser simplificado para mi simple trivial paquete de caso.
- Ahora la última frase parece mal para mí. No necesitamos $\nabla u = \nabla_g u$ donde $\nabla_g$ es la de Levi-Civita de conexión en $M$, siempre que $u \in \mathcal{T}^0_0(M, W)$ (es decir, siempre que $u$ es una función suave en $M$)???
El propósito de todo esto es crear espacios de Sobolev más de vector o tensor de paquetes. Sólo necesito espacios de sobolev $M$, así que pensé en tomar el trivial vector paquete como escribí más arriba en el orden de la teoría para simplificar, pero tengo un montón de problemas para entender. Mi segundo punto, por ejemplo, yo esperaría $\nabla$ a ser el ordinario de gradiente de una función en $M$ pero no lo es. Es una conexión diferente a $D$, y no sé qué debo elegir $h_W$ $D$ a de ser para hacer que funcione. Gracias.
