Dejemos que $E\to M$ sea un haz de vectores. ¿Está la estructura del haz vectorial determinada por el mapa $E\to M$ (como morfismo entre variedades)? es decir, ¿es posible que haya dos haces vectoriales no isomorfos $E_1, E_2$ de tal manera que sus colectores subyacentes son los mismos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
jasonjwwilliams
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Esta respuesta se aproxima, pero no es exactamente lo que está preguntando: Aquí hay una familia contablemente infinita de ejemplos $E_i$ de haces vectoriales distintos sobre $S^4$ que son homeomórficas como variedades abstractas. No sé si algún par de ellos son difeomórficos o no.
Al agarrar las funciones, hay un $\pi_3(SO(4))\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ rango de valor $4$ paquetes sobre $S^4$ . Del exótico Milnor $7$ -sabemos que una subfamilia contable de éstas tiene clase de Euler $\pm 1$ . Sea $E_i$ enumerarlas.
Utilizando la notación $SE_i$ para el haz de esferas en $E_i$ observamos que $SE_i$ es un $S^3$ haz de la mano sobre $S^4$ con clase Euler $1$ . La secuencia de Gysin muestra entonces que $SE_i$ es una homotopía $S^7$ que entonces debe ser homeomorfo a $S^7$ por la conjetura de Poncare. En particular, $SE_i$ es homeomorfo a $SE_j$ .
Ahora, uno puede usar el truco de Alexander para extender tal homeomorfismo a un homeomorfo de $E_i$ a $E_j$ por lo que estas variedades son homeomórficas por pares, aunque sean haces vectoriales diferentes.
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Si estás dispuesto a considerar haces vectoriales complejos, puedes obtener ejemplos más fácilmente (aunque estoy seguro de que también puedes hacerlo sólo con haces vectoriales reales). Por ejemplo, el haz de líneas tautológico y su dual (complejo) son isomorfos como haces vectoriales reales y por tanto, en particular, sus espacios totales son difeomorfos, pero no son isomorfos como haces vectoriales complejos.
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@levap Sí. Pero en ese caso requeriría que los espacios totales fueran equivalentes holomórficos. Lo que quiero decir es que cuando se habla de haces vectoriales, ¿se puede mencionar sólo el mapa (en la categoría correspondiente) $E\to M$ (y olvidar la trivialización local)?
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Se me ocurrió esta pregunta cuando trato de entender la definición de algunos haces vectoriales específicos. Por ejemplo en algunos libros la definición de haces tautológicos sólo menciona la proyección del haz "de forma tautológica" y no menciona las trivializaciones locales. Sé que en este caso la propia fibra tiene la estructura lineal por lo que no tenemos que definirla, pero todavía quiero saber en general es cierto que no necesitamos mencionar la estructura lineal de cada fibra