El resultado también puede ser resultado ser bastante fácilmente por inducción en n. En primer lugar observamos que no hay necesidad de especificar los límites de la suma: si k>n o k<m+1, uno de los coeficientes binomiales es0, de todos modos. Supongamos que
\sum_k(-1)^k\binom{n}k\binom{k-1}m= (-1)^{m+1}
siempre que 0\le m<n. A continuación, para m<n hemos
\begin{align*}
\sum_k(-1)^k\binom{n+1}k\binom{k-1}m&=\sum_k(-1)^k\left(\binom{n}k+\binom{n}{k-1}\right)\binom{k-1}m\\
&=\sum_k(-1)^k\binom{n}k\binom{k-1}m+\sum_k(-1)^k\binom{n}{k-1}\binom{k-1}m\\
&=(-1)^{m+1}+\sum_k(-1)^k\binom{n}{k-1}\binom{k-1}m\\
&=(-1)^{m+1}-\sum_k(-1)^k\binom{n}k\binom{k}m\\
&=(-1)^{m+1}-\sum_k(-1)^k\binom{n}m\binom{n-m}{n-k}\\
&=(-1)^{m+1}-\binom{n}m\sum_k(-1)^k\binom{n-m}k\\
&=(-1)^{m+1}\;,
\end{align*}
desde \sum_k(-1)^k\binom{r}k=0r\in\Bbb Z^+.
El caso de m=n es trivial, ya que la suma tiene sólo un cero término, el de k=n+1:
(-1)^{n+1}\binom{n+1}{n+1}\binom{n}n=(-1)^{n+1}\;.
Añadido: En realidad, lo que sugiere una combinatoria prueba de la identidad original. Supongamos que tenemos n bolas blancas numeradas 1 a través de n. Para un determinado k hay \binom{n}k\binom{k-1}m formas de elegir los k de estas bolas, pintarlos de rojo, dejar de lado la bola roja con el número más grande, y, a continuación, elija m restante de los k-1 rojo que las bolas de pintura azul. En el final tenemos los siguientes posibles resultados: un conjunto de m bolas de color azul; un conjunto de k-m bolas rojas, uno de los cuales tiene un número mayor que cualquiera de las bolas de color azul; y n-k bolas blancas. Claramente los posibles valores de k son enteros m+1,\ldots,n.
Alternativamente, podemos clasificar estos resultados por el conjunto de las bolas de color azul y el número de los más grandes numeradas bola roja. Para un conjunto fijo B m bolas de color azul y de mayor numeradas bola roja \ell, las cifras en el resto de las bolas de color rojo puede ser cualquier subconjunto R[\ell-1]\setminus B, y el número total de bolas rojas y azules (correspondiente a k anterior) es |R|+m+1. Estos resultados, por tanto, contribuir
\begin{align*}
\sum_{r=0}^{\ell-1-m}\binom{\ell-1-m}r(-1)^{r+m+1}&=(-1)^{m+1}\sum_r\binom{\ell-1-m}r(-1)^r\\
&=(-1)^{m+1}[\ell=m+1]\;,
\end{align*}
donde [\ell=m+1] es una Iverson soporte.
Es decir, sólo para B=[m] \ell=m+1 estos resultados tienen un no-cero aporte, y en ese caso la respuesta es (-1)^{m+1}.