Evaluación de la integral con el teorema del residuo

Question

La integral en cuestión es

$$\int_{_C} \frac{z}{z^2+1}\,dz,$$ donde $C$ es el camino $|z-1| = 3.$

Los dos polos de $f(x)$ donde $f(x)=\frac{z}{z^2+1}$ es $-j$ y $j$

$${\rm Res}_{z=z_0}f(x)=\lim_{z\rightarrow\infty}(z-z_0)f(z)$$

Para el primer poste:

$${\rm Res}_{z=j}f(z)= \lim_{z\rightarrow\\j}(z-j)\frac{z}{z^2+1} \\ = \lim_{z\rightarrow\\j}\frac{(z-j)z}{(z+j)(z-j)}\\ =\lim_{z\rightarrow\\j}\frac{z}{(z+j)} =\frac{j}{(j+j)}$$

${\rm Res}_{z=j}f(z)= \frac{1}{2}$ .

Para el segundo poste:

$${\rm Res}_{z=-j}f(z)= \lim_{z\rightarrow\\-j}(z+j)\frac{z}{z^2+1} \\ = \lim_{z\rightarrow\\-j}\frac{(z+j)z}{(z+j)(z-j)}\\ = \lim_{z\rightarrow\\-j}\frac{z}{(z-j)}\\ = \frac{j}{(-j-j)}$$

${\rm Res}_{z=-j}f(z)= \frac{-1}{2}$ .

Suma:

$${\rm Res}_{z=j}f(z)+ {\rm Res}_{z=-j}f(z)= \frac{1}{2}-\frac{1}{2} = 0$$

Ahora bien, siempre he tenido la impresión de que cuando se integra dentro de una trayectoria, el único momento en que el resultado es 0 es cuando no hay ningún polo dentro o sobre la trayectoria.

¿Me equivoco o he cometido un error en el cálculo? ¿O no debería intentar utilizar el teorema del residuo?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para el segundo poste: $${\rm Res}_{z = -i} f(z) = \lim_{z \to -i} \frac{(z+i) z}{(z+i)(z-i)} = \lim_{z \to -i} \frac{z}{z-i} = \frac{-i}{-2i} = \frac{1}{2}$$ así que de hecho dos polos contribuyen lo mismo al resultado final que es $2\pi i \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 2\pi i$ .