Hay infinitos $N$ tal que $\frac{N}{2}$ es un cuadrado perfecto, $\frac{N}{3}$ es un cubo perfecto, y $\frac{N}{5}$ es una quinta potencia perfecta

Question

Demuestre que hay infinitas $N$ tal que $\frac{N}{2}$ es un cuadrado perfecto, $\frac{N}{3}$ es un cubo perfecto, y $\frac{N}{5}$ es una quinta potencia perfecta.

Se da una pista con esta pregunta, que es: $7^{30}$ es un cuadrado perfecto, un cubo perfecto y una quinta potencia perfecta.

¿Alguien puede resolver esto? Gracias.

Answer 1

La forma general de este tipo de número es $2^{15}3^{10}5^{6}x^{30}$ para todos los valores de $x$ .

Cuando $x=1$ este número es el producto de potencias de 2, 3 y 5 justo por debajo de algún número entero, por ejemplo $32768$ , $59049$ y $15625$ son las mayores potencias bajo, digamos $60,000$ .

El funcionamiento general para tal número es tratar las indeces por resto chino. Así, por ejemplo, si buscamos algo donde $N/2$ es cuadrado, $N/3$ es un cubo, y $N/5$ es una quinta potencia, observaríamos que, por ejemplo, es un producto de algunas potencias de 2, 3 y 5, por ejemplo $2^a 3^b 5^c$ .

Tenemos entonces que 2 divide $a-1, b, c$ , 3 divide a cada uno de $a, b-1, c$ y 5 divide a cada uno de $a, b, c-1$ . Obtenemos entonces que 15 divide a, 10 divide b y 6 divide c.

• Encontramos ahora un múltiplo de 15 que 2 divide a-1: resultado = $a=15$
• Encontramos entonces que 10 que 3 divide a b-1, resultan $b = 10$
• Encontramos un resultado donde 5 divide a c-1: resultado = $6$ .

Entonces observamos que todo número que es una potencia de 30, ya es un cuadrado, un cubo y una quinta potencia, es decir $x^{2 \cdot 3 \cdot 5} = x^{30}$ y, por tanto, si $N/2$ es cuadrado, también lo es $(N\cdot x^{30})/2$ también es cuadrado, y si $N/3$ es un cubo, también lo es $(N\cdot x^{30})/3$ y si $N/5$ es una quinta potencia, también lo es $(N\cdot x^{30})/5$ es cierto para todos $x$ .

En el ejemplo trabajado, incluimos una última fila, para todos los $x$ donde el poder de $x$ es un múltiplo de 2, 3, 5 y 7, y por lo tanto satisface todas las condiciones anteriores.

Si queremos seguir añadiendo $N/7$ como séptima potencia, entonces tendríamos que buscar algún conjunto donde $2 | (a-1, b, c, d) $ , $3 | (a, b-1, c, d)$ etc. Esto significa que, por ejemplo $b, c, d$ están igualados, $a, c, d$ son múltiplos de 3, etc. Aquí escribimos el módulo en forma de lista, donde el módulo se toma sobre el punto correspondiente de la función mod.

Lo vemos en la primera fila, $a$ debe dar un resto de 0, cuando se divide por 3, 5, 7, por lo que debe ser un múltiplo del producto de $3 \cdot 5 \cdot 7$ , lo que deja un remanente de $1$ cuando se divide por $2$ .

• a = 1, 0, 0, 0, mod(2, 3, 5, 7), es un múltiplo de 105, da $a=105$
• b = 0, 1, 0, 0, mod(2, 3, 5, 7), es un múltiplo de 70, da $b=70$
• c = 0, 0, 1, 0, mod(2, 3, 5, 7), es un múltiplo de 42, da $c=126$
• d = 0, 0, 0, 1, mod(2, 3, 5, 7), es un múltiplo de 30, da $d=120$
• e = 0, 0, 0, 0, mod(2, 3, 5, 7), es un múltiplo de 210, da $e=210$

Así que podemos escribir esto como $2^{105} 3^{70} 5^{126} 7^{120} x^{210}$ para todos los valores de $x$ . Tenga en cuenta que no es necesario escribir $x^{210y}$ ya que el rango de $x$ ya incluye $x^y$ .

Answer 2

Creo que la insinuación estaba pensada para ser utilizada así :

Si $N$ es un número así, entonces $7^{30}N$ es otro de esos números. Por lo tanto, si se puede obtener una solución, se obtienen infinitas soluciones.

Answer 3

Sugerencia : Dado que se trata de algunos factores de $2,3,5$ es razonable buscar la solución en la forma $N=2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}.$ La condición, que $N/2$ es un cuadrado perfecto conduce a $\alpha-1=0(\mod 2),$ $\beta=0(\mod 2)$ y $\gamma=0(\mod 2).$ Haz lo mismo con las demás potencias.

Answer 4

He visto esto recientemente. Esta es mi solución. Deje que $n$ sea de forma, $n=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$ . Tenga en cuenta que,

• $n/2$ ser cuadrado perfecto implica $\alpha\equiv 1\pmod{2}$ , $\beta,\gamma\equiv 0\pmod{2}$ .
• $n/3$ ser un cubo perfecto implica $\alpha\equiv 0\pmod{3}$ , $\beta\equiv 1\pmod{3}$ y $\gamma\equiv 0\pmod{3}$ .
• Finalmente, $n/5$ siendo la quinta potencia perfecta implica $\alpha\equiv 0\pmod{5}$ , $\beta\equiv 0\pmod{5}$ y $\gamma\equiv 1\pmod{5}$ .

Por lo tanto, buscamos triples $(\alpha,\beta,\gamma)$ obedeciendo las condiciones anteriores simultáneamente. Sin embargo, para cada elemento (digamos $\alpha$ ), tenemos tres congruencias con números coprimos modulares, por lo tanto, por el teorema chino del resto, existen infinitamente muchos de estos triples, por lo tanto, infinitamente muchos de estos $n$ 's.