Multiplicativa orden en el campo de la extensión

Question

Deje $F/K$ ser algunos de extensión de campo (ambos son finitos campos) y $u$ ser algún elemento en $F$.

Quiero saber si $u^{|K|} = u$ implica $u \in K$. Y ¿por qué?

Answer 1

Como $K^*$ es un grupo de orden $|K|-1$ (en virtud de la multiplicación) de cada elemento no satisface la ecuación $x^{|K|-1}=1$. Así que multiplicando por $x$, estos elementos a lo largo de con $0$, satisfacen la ecuación de $x^{|K|}-x=0$. Como las ecuaciones sobre los campos no tienen más raíces que el grado no es posible para los elementos de la extensión del campo $F$ (no en $K$) a la raíz de la ecuación. Este es el argumento de Hurkyl tenía en su mente y no tienen tiempo de escribir.