Un problema de juego: doble o incrementado en 1

Question

Su una partida de dos jugadores. Inicialmente $P=1$, y hay algunos fijos entero $Q>1$.

Un movimiento válido consiste en el aumento de $P$ $1$ o duplica el fib en hacerlo, $P$ NO exceda el $Q$.
Los jugadores mueven alternativamente. El juego termina cuando $P=Q$. El perdedor es el jugador que no puede hacer un movimiento. La tarea es predecir el ganador.

Mi análisis hasta la fecha: El segundo jugador siempre puede la fuerza de sus oponentes mover al final en un número par. Por lo tanto, si $Q$ es impar en el segundo jugador sin duda puede ganar. Sin embargo, yo no soy capaz de analizar el juego al $Q$ es incluso. Algunos consejos por favor? Gracias.

Answer 1

Algunas observaciones y cálculos, no una respuesta.

1. En realidad, el primer turno de Jugador que es irrelevante, ya que cualquiera que sea su fichaje, el Jugador II comenzará con $P=2$.
2. Para los valores de $Q$ $30$ tenemos las siguientes soluciones (ver más abajo para una justificación) $$II=\{4,6,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30\}$$ and $$I=\{2,8,10\}$$

Conjetura: después de algunas inicial de la anomalía (para los valores de $Q\le10$) Jugador II gana siempre.

Posibles de la idea de la prueba. El jugador II puede decidir si va a dar $P=3$ (si se suma $1$) o $P=4$ (si él dobles) para el Jugador I para empezar, mientras que el Jugador sólo puedo dar $P=2$ a un Jugador II para empezar. Así que hay una asimetría en favor del Jugador II.

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Diferentes casos para $Q$

1. $Q=2$ (I). A continuación, Jugador que gana inmediatamente.
2. $Q=4$ (II). Entonces el Jugador II comienza con $P=2$, dobles y gana.
3. $Q=6$ (II). Entonces el Jugador II dobles, $P=4$, Jugador que añade $1$ (sin elección), por lo $P=5$ y el Jugador II agrega $1$ y gana.
4. $Q=8$ (I). Si el Jugador II dobles, $P=4$ y luego el Jugador que yo dobles y gana. Así, el Jugador II agrega $1$, lo $P=3$, pero entonces el Jugador $I$ el dobles, por lo $P=6$, entonces el Jugador II agrega $1$ y el Jugador que añade $1$ y gana.
5. $Q=10$ (I). Si el Jugador II dobles, $P=4$ y luego el Jugador I se duplica, por lo $P=8$, entonces el Jugador II agrega $1$, lo $P=9$ y el Jugador que añade $1$ y gana. Así, el Jugador II agregará $1$, lo $P=3$ y por lo tanto Jugador que será el doble de lo $P=6$ y el Jugador que gana.
6. $Q=12, Q=14$ $Q=16$ (II). Por ejemplo, si $Q=16$, Jugador II dobles, por lo $P=4$, y luego si el Jugador que se suma $1$, entonces el Jugador II dobles y gana. Si, por otro lado, el Jugador I se duplica, a continuación, $P=8$ y el Jugador II dobles y gana.
7. $Q=18$ (II). El jugador II dobles, por lo $P=4$ y, a continuación, si el Jugador que se suma $1$ $P=5$ y el Jugador II dobles y gana. Así que el Jugador I se duplicará, por lo $P=8$ y luego el Jugador II dobles y gana.
8. $Q=20, Q=22$ $Q=24$ (II). Por ejemplo, en $Q=20$ si el Jugador II dobles, a continuación, $P=4$ y el Jugador que se suma $1$, lo $P=5$, así que el Jugador II suma $1$ (de lo contrario pierde), por lo $P=6$ Jugador y yo dobles y gana. Así que el Jugador II sumará $1$, lo $P=3$ y el Jugador que se suman a $1$ (de lo contrario pierde), por lo $P=4$ y el Jugador II sumará $1$, (de lo contrario pierde), por lo $P=5$ y el Jugador que se suma $1$ (de lo contrario pierde), por lo $P=6$ y el Jugador II dobles y gana.
9. $Q=26, Q=28$ $Q=30$ . De manera similar.

En suma, tenemos que $$II=\{4,6,12,14,16,18,20,22,24\}$$ and $$I=\{2,8,10\}$$