Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto.

Question

Tiene un punto de carga y un perfecto dipolo $\vec{p}$ a pie $r$ distancia. El ángulo entre el$\vec{p}$$\hat{r}$$\theta$. Quiero encontrar la fuerza sobre el dipolo.

Estoy teniendo más que un poco de dificultad en identificar el lugar a donde voy mal. Si hago este problema en coordenadas cartesianas, me da la respuesta correcta, así que al parecer no estoy entendiendo algo acerca de coordenadas esféricas.

Tenemos $F = q\Delta E$ de dipolos en un campo eléctrico no uniforme. Si $d$ en el dipolo es pequeño, entonces puedo usar

$$\Delta E \approx \nabla E \cdot \Delta\vec{r}$$

A continuación se derivan de la expresión en coordenadas esféricas.

Así, en primer lugar,

$$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \hat{r}$$

Así

$$E_r = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$$

y

$$\Delta E_r = \nabla E_r \cdot \Delta \vec{r}$$

donde $\Delta \vec{r} = \bigl(\Delta r, r\Delta \theta, r\sin\theta\Delta \phi \bigr)$.

$$\nabla E_r = \biggl(\frac{-2q}{4 \pi \epsilon_0 r^3},0,0\biggr)$$

Por lo tanto,

$$q\Delta E_r = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$$

y

$$\Delta E_{\theta} = \Delta E_{\phi} = 0$$

como $E_{\theta} = E_{\phi} = 0$.

Así

$$F = q\Delta E_r = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{r}$$

Pero debe ser

$$F = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{r} - \frac{qp\sin\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{\theta}$$

Por lo $\Delta E_{\theta}$ debe ser distinto de cero, pero no veo cómo.

Answer 1

La fuerza aplicada a un punto de dipolo con dipolo impulso $\vec{p}$ es $$ \vec{F} = (\vec{p} \cdot \vec\nabla) \vec{E} $$ En coordenadas Cartesianas que es $$ F_i = \sum_j p_j \frac{\partial}{\partial x_j} E_i $$ Pero esféricas en coordenadas no es el mismo.

No hay ningún campo de los componentes a lo largo de $\vec{\theta}$, pero hay un gradiente de campo de los componentes a lo largo de esta dirección, dado que la dirección del vector de cambios.

Con el fin de convertir la expresión en coordenadas esféricas uno debe utilizar análisis tensorial.

En todas las expresiones siguientes a la suma sobre índices de repetición es de suponer. $$ T^{\;ji}_t = p^j \frac{\partial}{\partial x^t} E^i $$ $$ F^{\;i} = T^{\;ji}_t \delta^t_j $$ Vamos a coordenadas Cartesianas ser $x^1, x^2, x^3$ y coordenadas esféricas ser $y^1, y^2, y^3$, luego $$ T{\,}'^{j i'}_{t}(s) = \frac{\partial y^{j'}}{\partial x^j} \frac{\partial y^{i'}}{\partial x^i} \frac{\partial x^t}{\partial y^{t'}} T^{\;ji}_{t}\bigl(x(y)\bigr) $$

Uno debe calcular la fuerza en coordenadas esféricas como $$ F^{\,i} = T{\,}'^{ji}_{t}(y) \delta^t_j \quad \text {()} $$ mientras que usted ha utilizado el tensor sin primer, es decir, $$ F^{\,i} = T{\,}^{ji}_{t}(y) \delta^t_j \quad \text{(mal)} $$