Medida de Lebesgue en la función integrable de Riemann en$\mathbb{R}^2$

Question

Como se ha mencionado en algunas de mis otras preguntas, soy nuevo en teoría de la medida y el aprendizaje en mis el propios. Me encontré con un interesante ejercicio y agradecería interesados en pensamientos.

Programa de instalación:

Deje $\lambda_2$ ser una medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^2$ tal forma que: $\lambda_2((a,b]$x$(c,d])=(b-a)(d-c)$ para todos finito, real $a < b, c < d$.

Preguntas (El ejercicio menciona decir que estas preguntas las puede probar, sin hacer ninguna referencia a los resultados o la información más allá de lo dado):

1. Espectáculo $\lambda_2(B$ x $\{a\})$ $\lambda_2(\{a\}$ x $B)=0$, $a\in\mathbb{R},B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

2. Para $f(x) \geq 0$ Riemann-integrable en el intervalo finito [a,b], muestran que

$$\lambda_2(\{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\})=\int_a^b f(x)dx.$$

2., lo poco que he captado con la teoría de la medida es que en $\mathbb{R}^2$, medida funciona de manera muy similar a "la zona", pero ¿qué es el disparo de mí es la advertencia de que estos supuestos/resultados no son necesarios.

Cualquier ayuda es muy apreciada como siempre.

Answer 1

Deje $\lambda_2^\ast$ el exterior de Lebesgue medida en $\Bbb R^2$.

1. Deje $n\in\Bbb Z$. Tenga en cuenta que para cualquier $\epsilon\gt 0$ $$\{b\}\times (n,n+1]\subset (b-\epsilon,b]\times (n,n+1]$$ así que $$\lambda_2^\ast(\{b\}\times (n,n+1])\leq \lambda_2^\ast((b-\epsilon,b]\times (n,n+1])=\epsilon.$$ Desde epsilon es arbitrario, esto demuestra $\lambda_2^\ast(\{b\}\times (n,n+1])=0$ y, por tanto, por la definición de la medida de Lebesgue $\{b\}\times (n,n+1]$ es medible y $$\lambda_2(\{b\}\times (n,n+1])=0,$$ para cada una de las $n\in\Bbb Z$. Por lo tanto, el conjunto de $$\{b\}\times\Bbb R=\bigcup_{n\in\Bbb Z} \{b\}\times (n,n+1]\tag{1}$$ tiene una medida de $0$.

Considere la posibilidad de $E\subseteq\Bbb R$ un conjunto arbitrario de números reales. Desde $$\{b\}\times E\subseteq \{b\}\times\Bbb R$$ en vista de $(1)$ llegamos a la conclusión de que $$\lambda_2(\{b\}\times E)=0.$$ La otra parte es muy similar.

2. Considere la posibilidad de $P_n=\{x_0,\ldots,x_n\}$ la partición de $[a,b]$ dada por $$x_0=a,\quad x_k=\frac{k}{n}(b-a),\ \text{ for } k\in\{1,\ldots,n\}.$$ Para cada una de las $k\in\{1,\ldots,n\}$ definir $$m_k=\inf f([x_{k-1},x_k])\qquad M_k=\sup f([x_{k-1},x_k]).$$ Tenga en cuenta que $$[x_{k-1},x_k]\times [0,M_k]=\{x_{k-1}\}\times]0,M_k]\cup]x_{k-1},x_k]\times\{0\}\cup ]x_{k-1},x_k]\times ]0,M_k]\tag{3}$$ puesto que esta unión es distinto, por $1.$ tenemos $$\lambda_2([x_{k-1},x_k]\times [0,M_k])=\lambda_2(]x_{k-1},x_k]\times ]0,M_k])=\frac{k}{n}(b-a)\cdot M_k\quad \forall k\in\{1,\ldots,n\}. \tag{2}$$ Para cada una de las $n\in\Bbb N$ definir $$L_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n m_k\qquad U_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n M_k.$$ Siempre que $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ hemos $$\lim_{n\to\infty} L_n=\int_a^b f=\lim_{n\to\infty} U_n.$$ Ahora, observe que, para cada una de las $n\in\Bbb N$ $$\{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\}\subseteq Z_n\cup \bigcup_{k=1}^n ]x_{k-1},x_k]\times ]0,M_k],$$ donde, a la luz de $(3)$, $\lambda_2(Z_n)=0$. Así $$\lambda_2^\ast(\{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\})\leq \lambda_2^\ast\left(Z_n\cup \bigcup_{k=1}^n ]x_{k-1},x_k]\times ]0,M_k]\right)\leq U_n,$$ dejando $n\to\infty$ obtenemos $$\lambda_2^\ast(\{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\})\leq \int_a^b f\tag{4}$$

Ahora, fix $n\in\Bbb N$. Tenga en cuenta que para cualquier cubriendo $\{]a_k,b_k]\times]c_k,d_k]\}_{k\in\Bbb N}$ hemos $$\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]\times[0,m_k]\subseteq \{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\}\subset \bigcup_{k\in\Bbb N} ]a_k,b_k]\times]c_k,d_k]$$ entonces por argumentos similares a la anterior obtenemos $$L_n\leq \sum_{k=1}^\infty (b_k-a_k)(d_k-c_k)$$ así $$L_n\leq \lambda_2^\ast(\{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\}).$$ Como esto es cierto para cada uno de los $n\in\Bbb N$, dejando $n\to\infty$ tenemos $$\int_a^b f\leq \lambda_2^\ast(\{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\}).$$ Esto unido con$(4)$ dice $$\int_a^b f=\lambda_2^\ast(\{(x,y):0\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\}).$$

Answer 2

Piense en los conjuntos abiertos que forman una base para los subconjuntos Borel de$\mathbb{R}$ y primero intente probar (1) para estos conjuntos.

Answer 3

Para 1, tenga en cuenta que$B\times{a}=\cup_n (B\cap[-n,n])\times{a}$, y que$\lambda_2([-n,n]\times{a})\leq\lambda_2([-n,n]\times(a-1/n^2,a+1/n^2))=4/n$.

Para 2, solo tenga en cuenta que las sumas de Riemmann superior e inferior le dan conjuntos de rectángulos que contienen y están contenidos en su conjunto, respectivamente, y por lo tanto la medida del conjunto debe coincidir con la integral.