Soy consciente de que si pega dos cuadrados conmutativos, ese diagrama es conmutativo, pero, en general, ¿cómo se puede probar que un diagrama (con cuadrados o triángulos) es conmutativo si cada subdiagrama es conmutativo? No veo cómo generalizar. Gracias por adelantado
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notpeter
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Un diagrama conmutativo indexado por un preorder (en particular, un poset) $J$ es nada más y nada menos que un functor $D:J\to C$. Por lo tanto la razón de que un diagrama es conmutativo si y sólo si todos los triángulos o cuadrados en el mismo son propiedad conmutativa de la siguiente manera a partir de la composición axioma de un functor: $D(x\circ y)=D(x)\circ D(y)$ dice exactamente que todos los triángulos en el diagrama de tiempo de viaje, mientras que uno podría de forma equivalente de definir un functor exigiendo $D(x)\circ D(y)=D(z)\circ D(w)$ siempre $x\circ y=z\circ w$, que dice que todas las plazas de desplazamiento. (Para los menos inmediata implicación entre la costumbre y la nueva definición de un functor, vamos a $z$ ser una identidad y $w=x\circ y$.) Es antinatural para pedir conmutativa diagramas, en el sentido de que $D$ identifica cualquiera de los dos caminos entre dos objetos en su imagen, indexados por los no-posets, puesto que un diagrama conmutativo indexados por cualquier categoría de $J$ factor a través de el universal poset en $J$. Así que esto es probablemente el resultado que usted desea.
Taroccoesbrocco
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427
Veamos el caso de un diagrama hecho de $2$ plaza de subdiagramas.
$\require{AMScd}$ \begin{CD} A @>f>> B @>j>> E\\ @V g V V @VV h V @VV lV\\ C @>>i> D @>>k> F \end{CD}
Para el diagrama de arriba para viajar, los tres siguientes igualdades debe contener: \begin{align} l\circ j\circ f &= k\circ i\circ g, \tag{1} \\ h \circ f &= i \circ g, \tag{2} \\ l\circ j &= k \circ h \tag{3}. \end{align}
En realidad, para que el diagrama conmuta basta para demostrar que (2) y (3) mantener (es decir, que los dos subdiagramas de conmutar), ya que (1) se sigue de los dos últimos, fundamentalmente a través de la asociatividad de la composición y la transitividad de la igualdad. De hecho, \begin{align} (l\circ j)\circ f &= (k \circ h) \circ f &&\text{by (3)} \\ &= k \circ (h \circ f) &&\text{by associativity} \\ &= k \circ (i \circ g) &&\text{by (2)}. \end{align}
Este argumento se puede generalizar de una manera directa a un diagrama hecho de $n$ (cuadrado o triángulo) subdiagramas, para cualquier $n \geq 2$ (la idea es la misma que en el caso de $n = 2$). Formalmente, se puede probar por inducción en $n$. Los detalles de la prueba no son realmente interesantes y se requieren grandes anotaciones, te doy sólo una intuición.
Por definición, la gran diagrama de $D$ $n$ plaza de subdiagramas es conmutativa si, dados dos puntos cualesquiera $A$$B$$D$, todos los caminos de $A$ $B$viaje. Pero para demostrar que es suficiente para comprobar que el $n$ plaza de subdiagramas de viaje. De hecho, tenga en cuenta que si usted tiene dos caminos $f$$g$$A$$B$, entonces usted puede transformar $f$ a $g$ en pasos, donde cada paso sólo se ocupa de los bordes de una plaza subdiagrama (como hemos visto de forma explícita para el caso de $n = 2$).
Como ejercicio, escriba una explícita de la prueba para el caso de $n = 3$.
