Deje $V\subseteq\mathbb C^n$ ser una irreductible variedad afín, entonces el anillo de coordenadas $$\mathbb C[V] = \mathbb C[x_1,\dots,x_n]\big/\mathbf I(V)$$ es una parte integral de dominio. Deje $f\in\mathbb C[V]\setminus\{0\}$, entonces podemos definir la localización $$ \mathbb C[V]_f = \left\{\g\big/f^\ell \in \mathbb C(V)\,\big|\ g\in\mathbb C[V], \ell\ge 0\,\right\}, $$ donde $\mathbb C(V)$ denota el campo de fracciones de $\mathbb C[V]$.
Quiero una prueba de que $\mathbb C[V]_f$ es la de coordinar el anillo de los principales subconjunto abierto $$V_f = \left\{\,p\in V\,\big|\, f(p)\neq 0\,\right\}.$$
Podemos ver $V_f$ como una variedad afín mediante la identificación con $$\widetilde{V_f} = \mathbf V(\mathbf I(V)+\langle gy-1\rangle) \subseteq \mathbb C^n\times \mathbb C,$$ donde $y$ $(n+1)$th coordinar, $g\in\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$ es $f\in\mathbb C[V]$ y la proyección de $\mathbb C^n\times \mathbb C\to\mathbb C^n$ mapas de $\widetilde{V_f}$ bijectively en $V_f$. Entonces \begin{align} \mathbb C[V_f] &\cong \mathbb C[\widetilde{V_f}] = \mathbb C[x_1,\dots,x_n,y]\big/(\mathbf I(V)+\langle gy-1\rangle)\\ &\cong \mathbb C\left[x_1,\dots,x_n,1\big/g\right]\big/\mathbf I(V)\\ &\cong \left(\mathbb C[V]\right)\left[1\big/f\right] \cong \mathbb C[V]_f. \end{align} Es este razonamiento correcto? No estoy seguro de que todo lo hecho en el último de la cadena de isomorphisms es riguroso.
