La curvatura de una curva regular es una función suave del parámetro si no se desvanece

Question

Tenemos que la curvatura de una curva $ \gamma (t)$ está dada por $K(t)=\| \gamma ''(t)\|$ iff $\| \gamma '(t)\|=1$ .

Si $\| \gamma '(t)\| \neq 1$ entonces encontramos la longitud de arco $s(t)= \int_0 ^t \| \gamma '(u)\|du=g(t)$ entonces resolvemos para $t=g^{-1}(s)$ . Entonces tenemos que $ \gamma (s)= \gamma (g^{-1}(s)) \Rightarrow \| \gamma '(s)\|=1$ . Así que encontramos la curvatura por la fórmula $K(s)=\| \gamma ''(s)\|$ .

Cuando la curvatura de una curva regular $ \gamma (t)$ está en todas partes $>0$ y luego mostrar que la curvatura es una función suave de $t$ .

¿Podría darme algunas pistas de cómo podríamos mostrar esto?

Answer 1

Si un vector, $v$ es suave y no se desvanece, entonces $$ \left |v \right |= \sqrt {v \cdot v} \tag {1} $$ también es suave, ya que $ \sqrt {x}$ es suave lejos de $0$ .

La curvatura es la longitud del vector $$ \frac { \gamma ' \times\gamma ''}{ \left | \gamma ' \right |^3} \tag {2} $$ que es suave porque $ \gamma $ es suave y $ \gamma ' \ne0 $ .

Por lo tanto, si no desaparece, el valor absoluto del vector en $(2)$ es suave. Eso es $$ \kappa = \frac { \left | \gamma ' \times\gamma '' \right |}{ \left | \gamma ' \right |^3} \tag {3} $$ es suave. Por lo tanto, si ninguno de los dos $ \gamma '$ ni $ \kappa $ desaparecen, $ \kappa $ es suave.

Answer 2

Pista: Muestra primero que si la curva es suave, entonces la parametrización de la longitud del arco también es suave. Por lo tanto, asumamos que la curva suave satisface $\| \dot { \gamma }\|=1.$ El punto es que el mapa $ \ddot { \gamma } \mapsto\ | \ddot { \gamma }\|$ es suave siempre que $ \ddot { \gamma }$ no se desvanece.