Cómo demostrar $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k} = n2^{n-1}$

Question

$\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k} = n2^{n-1}$

He intentado tanto la inducción y la transformación de ambos lados para conseguir la igualdad, pero no hubo suerte

Sé que

$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k} = 2^{n}-1$ et $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

p.d: No he podido encontrar algo similar de este tipo en ningún sitio. Pero creo que es algo relacionado con la regla de Pascals. Por favor indícame pequeñas pistas, gracias

Answer 1

Puede utilizar $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ : $$ \begin{align*} 2\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} &= \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} + \sum_{k=0}^n k\binom{n}{n-k} \\ &= \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} + \sum_{k=0}^n (n-k)\binom{n}{k} \\ &= \sum_{k=0}^n [k+(n-k)]\binom{n}{k} \\ &= \sum_{k=0}^n n\binom{n}{k} \\ &= n2^n. \end{align*} $$ En la primera línea utilizamos $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ en el segundo utilizamos la sustitución $k = n-k$ en la segunda suma.

Answer 2

Dada: $\text{S} \ = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\times\dfrac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$

$=n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}$

$= \boxed{n \ 2^{n-1}}$

Answer 3

Sugerencia: Desarrollar $(1+x)^n$ con la fórmula binomial, y luego diferenciar ambos lados wrt $x$ .