Métodos de evaluación$\int_0^{\infty}\frac{{\rm d}x}{x^2+1}$

Question

Métodos de evaluación de la $$\int_0^{\infty}\frac{{\rm d}x}{x^2+1}$$

---

En primer lugar, sé que directamente: $$\int_0^{\infty}\frac{{\rm d}x}{x^2+1}=\arctan x\Bigg|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}2$$ También podemos utilizar el contorno de la integral: $$\int_{\text{Line}}\frac{{\rm d}z}{z^2+1}+\underbrace{\int_{\text{Arc}}\frac{{\rm d}z}{z^2+1}}_{\text{zero}}=2\pi {\rm i}\;\substack{\large \text{Res}\\{z=i}}\;\frac{1}{z^2+1}=2\pi{\rm i}(1/(2i))=\pi$$ Puesto que la línea se extiende en ambas direcciones pero sólo necesitamos el lado positivo $$\int_0^{\infty}\frac{{\rm d}x}{x^2+1}=\frac{\pi}2$$ Ahora tengo dos preguntas:

• ¿Qué métodos se pueden utilizar para evaluar el residuo, puede alguien ser lo suficientemente detallados como para explicar en breve todos los útiles? Tenga en cuenta que yo también enumerados a continuación. En realidad, para explicar la función $$\frac1{(z^2+1)^2}$$ at $z=i$
• ¿Qué otros métodos para evaluar la integral?

Métodos de residuo me gustaría utilizar:
Laurent de la serie, Algunos teorema que dice residuo para$\frac{\phi(z)}{(z-z_0)^m}$$z_0$$\frac{\phi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}$, para el polo de orden 1 en un cero del denominador de la función racional podemos diffrentiate el denominador de una vez.

Answer 1

Sea $$ I_n = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm dx} {(1 + x ^ 2) ^ n} $$ Tenemos $$ \begin{align} I_n &= \underbrace{\int_0^{\infty}\frac{1+x^2}{(1+x^2)^n}\mathrm dx}_{I_n-1}-\int_0^{\infty}x\cdot \frac{x}{(1+x^2)^n}\mathrm dx\\ &=I_{n-1}-\underbrace{\left.\frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}}\right|_0^{\infty}}_{\to 0}+\frac{1}{2(1-n)}I_{n-1} \end {align} $$ y finalmente obtener la relación de recurrencia

$$ I_n = \ frac {2n-3} {2 (n-1)} I_ {n-1} \ qquad (n> 1) $$ con $$ I_1 = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm dx} {1 + x ^ 2} = \ frac {\ pi} {2} $$

Para$n=2$, tienes$I_2=\frac{\pi}{4}$.

Answer 2

Puedes usar la función beta para evaluar la integral. El uso de la sustitución$t=\frac{1}{1+x^2}$ convierte la integral a

PS

Nota:

PS