Ambos $p$ -números adictivos y $p$ -La teoría de Sylow son por diseño formas "aritméticas" de "localización", por lo que es lógico que puedan estar confabuladas en ciertos contextos. ¿Lo están?
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riza
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En el contexto de los grupos de torsión abelianos, los subgrupos Sylow corresponden a las sumas que se producen en la descomposición de la torsión según teorema de la estructura . En particular, como grupos de aditivos,
$$ \frac { \bf Q}{ \bf Z} \cong \bigoplus_p \frac {{ \bf Q}_p}{{ \bf Z}_p}.$$
El Prufer $p$ -grupos ${ \bf Z}(p^ \infty ) \cong { \bf Q}_p/{ \bf Z}_p$ y el $p$ -números enteros adictos ${ \bf Z}_p$ son Dobles de Pontryagin de cada uno. Esta descomposición es el campo numérico análogo de la descomposición de la fracción parcial presente en los campos de función, que elaboro en esta respuesta ilustrando esto es un global fenómeno.
La conexión entre los subgrupos de nilpotencia y Sylow permite función zeta técnicas para estudiar el nilpotente sin torsión generado de forma finita (es decir $ \frak T$ -)grupos, en particular red de subgrupos estructura y análisis asintótico de crecimiento del subgrupo , a través de productos locales de Euler . El $p$ -los números adictivos entran en juego cuando la zeta local integrales se utilizan. Véase imagen La fuente es la primera referencia que aparece a continuación.
- Funciones Zeta de los grupos y los anillos - du Sautoy & Woodward
- Conferencias sobre temas profilácticos en la teoría de grupos - Klopsch, Nikolov y Voll
Aquí hay una conexión que no he visto que se mencione en ninguna parte. Deje que $W_{p^n}$ ser el poder de la corona $$W_{p^n}= \underbrace {C_p \wr C_p \wr\cdots\wr C_p}_n.$$
El Sylow $p$ -subgrupos de $S_n$ donde $n=a_kp^k+ \cdots +a_1p+a_0$ es $n$ 's $p$ -expansión adictiva, son
$$a_kW_{p^k} \oplus\cdots\oplus a_1 W_{p} \oplus a_0 W_1,$$
hasta el isomorfismo, donde $W_1$ es el grupo trivial y $$mG:= \underbrace {G \oplus G \oplus\cdots\oplus G}_m.$$ Esto puede probarse calculando el orden del subgrupo anterior en $S_n$ . Tenga en cuenta que $W_{p^n}$ es también el grupo de automorfismo de la $p$ -árbol de raíces secundarias de profundidad $n$ . Por cierto, la topología de ${ \bf Z}_p$ es la de un arraigado infinito y profundo $p$ -árbol de la edad (ver Imágenes de los espacios ultramétricos por Holly).
Como un aparte, en Representaciones de árboles de los grupos Galois Boston conjetura que $p$ -adic Galois representaciones en grupos de matrices transmiten muy poca información mientras que $p$ -los representantes adictos de Galois en los grupos de automorfismo de los árboles deberían transmitir mucho, según La dimensión Hausdorff .
Desde isometrías de ${ \bf Z}_p$ corresponden a los automorfismos de la topología del árbol subyacente, el grupo de isometría viene dado por ${ \sf Iso}({ \bf Z}_p) \cong\varprojlim W_{p^n}$ . El subconjunto de torsión es un subgrupo isomórfico a $ \varinjlim W_{p^n}$ . El Sylow $p$ -subgrupo de ${ \sf Sym}({ \bf Z}) \ge\varinjlim S_n$ también se ve como $ \varinjlim W_{p^n}$ . Su cierre topológico (en términos de convergencia puntual de funciones) es isomorfo a $ \varprojlim W_{p^n}$ . (Ver directo / inverso límites.) (Al menos estoy bastante seguro de esa última afirmación. Todavía estoy tratando de fijar mi intuición en una prueba.)
luka3rd
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Aquí hay un enlace razonablemente simple: En términos de la teoría de Sylow, un buen hogar para la generalización es la tierra de los grupos profanos, donde se tienen teoremas de Sylow directamente análogos (con pruebas directamente análogas). Entre los grupos profanos está el canónico $ \widehat { \mathbb {Z}}$ la profusa realización de $ \mathbb {Z}$ y el grupo libre y profano del rango 1. La descomposición $$ \widehat { \mathbb {Z}} \cong \prod_p \mathbb {Z}_p $$ muestra que el $p$ -Los números enteros adictos son simplemente los $p$ -Subgrupo de Sylow de este grupo muy canónico.
