Problema en el sistema hamiltoniano

Question

No estoy seguro de si esto es demasiada física para estar aquí...

Considere $$H:\mathbb{R}^{2N+1}\rightarrow\mathbb{R}$$ de clase $C^2$ , dejemos que $H(x,y,z)$ tal que $x\in\mathbb{R}^N$ , $y\in\mathbb{R}^N$ y $z\in\mathbb{R}$ . Sea $\varphi$ sea el flujo asociado al sistema hamiltoniano $$\dot{x}_i=-\frac{\partial H}{\partial y_i}$$ $$\dot{y}_i=\frac{\partial H}{\partial x_i}$$ $$\dot{z}=1$$ Tengo que demostrar que si $\eta$ es una 1-forma dada por $\eta=\sum_{i=1}^Nx_i \ dy_i-H \ dz$ y $c$ es una curva cerrada en $\mathbb{R}^{2N+1}$ entonces para todo $s$ tenemos $$\int_{\varphi(s,c)}\eta=\int_c\eta.$$

Gracias de antemano.

Answer 1

Por Stokes $\int_c\eta = \int_D d \eta$ para cualquier disco $D$ con $\partial D = c$ (que existe porque todas las curvas son contractibles en $\mathbb{R}^{2n+1}$ ), y también $\int_{\phi(s,c)} \eta = \int_{\phi(s,D)} d \eta$

Así pues, basta con demostrar que la derivada de Lie de $d \eta$ es $0$ .

Por la fórmula mágica de Cartan

$$L_X d \eta = d (i_X (d\eta)) = d (i_X \omega -i_X (dH \wedge dz))$$

Tenemos $i_X dz =1$ .

A continuación, calculamos $i_X \omega = dH - \frac{\partial H}{\partial z} dz$

y así $d H = i_X \omega + \frac{\partial H}{\partial z} dz$ que contrató con $X$ de nuevo da

$i_X dH = i_X (\frac{\partial H}{\partial z} dz)= \frac{\partial H}{\partial z}.$

Introduciendo estos datos obtenemos

$$L_X d \eta=d (i_X \omega -i_X (dH \wedge dz)) = d( dH - \frac{\partial H}{\partial z} dz + (i_X dH) \wedge dz - d H \wedge (i_X dz))= d (0)=0.$$