demostrando que un mapa$f : A \rightarrow B$ es un mapa de cociente

Question

Supongamos $A$ $B$ son espacios topológicos tal que $f : A \rightarrow B$ es un continuo surjective mapa. Suponga que $\forall$ conjunto abierto $U$ $A$ su imagen está abierto. A continuación, $f$ es un cociente de mapa.

La prueba de esto no parece malo, pero todavía estoy un poco inseguro. Normalmente, cuando pienso en una prueba es "no está mal" empiezo a adivinar de mí porque siento que se necesita más cuando no. Es la prueba de esto tan sencillo, como creo que es o se tarda un poco más de trabajo? Tal vez alguien podría enseñarme su versión de cómo probar esto.

Answer 1

Creo que es bastante sencillo. Debe comprobar que$V$ está abierto en$B$ si y solo si$f^{-1}(V)$ está abierto en$A$. El "si" es la condición de apertura junto con la subjetividad, y el "solo si" es la definición de continuidad.

Answer 2

Te voy a mostrar que si $f$ es un continuo surjective abrir el mapa, a continuación, se satisface el universal propiedad de un cociente mapa y así es en sí mismo un cociente mapa.

Deje $C$ ser un espacio topológico y deje $g\colon B\to C$ ser una función. Tenemos que mostrar que $g$ es continua si y sólo si $g\circ f$ es continua.

Supongamos que $g\circ f$ es continua. Deje $U$ ser abierta en $C$ porque $g\circ f$ es continua, se debe tener $V=(g\circ f)^{-1}(U)$ es un subconjunto abierto de $A$, por lo que $$f(V)=f((g\circ f)^{-1}(U))=f(f^{-1}(g^{-1}(U)))=g^{-1}(U)$$ is open because $f$ is an open map. It follows that $g$ es continua por la definición de continuidad.

Si suponemos que $g$ es continuo, debido a que $f$ es continuo, nos encontramos con que $g\circ f$ también es continua debido a que la composición de continuo mapas es continua. De ello se desprende que $f$ satisface la necesaria universal de la propiedad de un cociente mapa, como se requiere.