Deje que$\mathbf{A}$ sea una subcategoría de$\mathbf{B}$, st$\forall$$\mathbf{A}$ - objetos$A$,$A\xrightarrow{id}A$ es una reflexión$\mathbf{A}$ -

Question

Quiero demostrar que esto implica que $\forall$ $\mathbf{A}$-los objetos de $A$ cualquier $\mathbf{A}$-reflexión $A\xrightarrow{r_A}A^{*}$ $\mathbf{A}$- isomorfismo.

Lo que he conseguido mostrar, sin el uso de la suposición anterior, es que debe haber alguna $\mathbf{A}$-morfismos $f$ s.t. $f\circ r_A = \mathrm{id}_A$ – esto es mediante la definición de una $\mathbf{A}$-reflexión, y observando que $\mathrm{id}_A : A\to A$ $\mathbf{A}$- morfismos, y por lo tanto un $\mathbf{B}$-morfismos. Sin embargo, estoy luchando por encontrar cualquier $\mathbf{A}$-morfismos $g$ s.t. $r_A \circ g = \mathrm{id}_{A^{*}}$, que sería necesario y suficiente para demostrar que $r_A$ $\mathbf{A}$- isomorfismo.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $r_A$ $\mathbf{A}$- morfismos. Para probar esto, utilizamos el hecho de que $id_A$ $\mathbf{A}$- reflexión para $A$: esto implica que existe un $\mathbf{A}$-morfismos $g$ tal que $g\circ id_A=r_A$. Pero esto sólo significa que $r_A=g$ $\mathbf{A}$- morfismos.

Ahora es suficiente para mostrar que $r_A\circ f=id_{A^*}$, desde entonces $r_A$ $f$ son inversas $\mathbf{A}$-morfismos. Ahora tenga en cuenta que$(r_A\circ f)\circ r_A=r_A\circ(f\circ r_A)=r_A$$id_{A^*}\circ r_A=r_A$. Por lo tanto $r_A\circ f$ $id_{A^*}$ ambos $\mathbf{A}$-morfismos $A^*\to A^*$ cuya composición con $r_A$$r_A$. Por la singularidad parte de la definición de la reflexión, esto significa $r_A\circ f=id_{A^*}$.