Sea $\mathbb{E}\left(\left|X\right|\right) < \infty$ y $\lim_{n\to\infty} \mathbb{P}\left(\Lambda_n\right) = 0$ demuestre que $\lim_{n\to\infty} \int_{\Lambda_n} X \, d\mathbb{P} = 0$ .
Se me ocurrió la siguiente prueba, que no utiliza DCT. Mi amigo dijo que usando el SES la proposición es trivial de probar pero no ofreció más explicación. Sinceramente, no veo cómo utilizar la SES para esta demostración. ¿Tenemos una prueba más corta/fácil usando DCT?
Mi prueba: Desde $\mathbb{E}\left( \left|X\right| \right) < \infty$ , $\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}\left( \left|X \right| \ge n \right)$ converge por el teorema 3.2.1. Esto implica que $\mathbb{P}\left( \left|X\right| \ge n \text{ i.o. }\right) = 0$ lo que equivale a $\mathbb{P}\left( \left| X \right| < n \text{ a.s. } \right) = 1$ . Por definición, esto significa que
$$ \mathbb{P}\left( \left\{\omega\mid \cup_{m=1}^\infty \cap_{n=m}^\infty \left|X(\omega)\right| < n \right\}\right) = 1 $$
Esto significa que existe un conjunto nulo $N$ tal que para todo $\omega \in \Omega - N$ existe alguna $K$ tal que $\left|X(\omega)\right| < n$ para todos $n \ge K$ . En particular, $\left|X\right|$ está casi siempre limitada por $K$ .
Desde $\lim_{n\to\infty} \mathbb{P}\left(\Lambda_n\right) = 0$ para cualquier $\epsilon > 0$ existe alguna $N(\epsilon)$ de forma que siempre que $n\ge N(\epsilon)$ , $\mathbb{P}\left(\Lambda_n\right) < \epsilon$ retenciones. Así que tenemos
\begin{align} \left| \int_{\Lambda_n} X \,d \mathbb{P} \right| &\le \int_{\Lambda_n} \left| X \right| \,d\mathbb{P} \\ &\le K \mathbb{P}\left(\Lambda_n\right) \\ &\le K \epsilon \end{align}
Esto demuestra que
$$ \lim_{n\to\infty} \int_{\Lambda_n} X \, d\mathbb{P} = 0 $$
Actualización: Mi prueba original es incorrecto como señaló @Trevor Gunn, ya que pasé por alto el hecho de que bound $K$ depende de $\omega$ . La siguiente prueba es correcta (quizás innecesariamente verbosa).
Para cualquier $K \in \mathbb{N}$ tenemos
\begin{align} \left| \int_{\Lambda_n} X \,d\mathbb{P} \right| &\le \int_{\Lambda_n} \left| X \right| \,d\mathbb{P}\\ &= \int_{\Lambda_n} \left|X\right| 1_{\left|X\right| \le K} + \left|X\right| 1_{\left|X \right| > K} \, d\mathbb{P} \\ &\le \int_{\Lambda_n} \left| X1_{\left|X\right| \le K}\right| \,d\mathbb{P} + \int_{\Lambda_n} \left| X 1_{\left|X\right| > K} \right|\,d\mathbb{P} \\ &\le \int_{\Lambda_n} \left| X1_{\left|X\right| \le K}\right| \,d\mathbb{P} + \int_\Omega \left| X 1_{\left|X\right| > K} \right|\,d\mathbb{P} \end{align}
Desde $\left| X 1_{\left|X\right| \le K}\right| = \left|X\right| 1_{\left|X\right| \le K} \le K$ casi en todas partes en $\Lambda_n$ tenemos
$$ \int_{\Lambda_n} \left| X 1_{\left|X\right|\le K} \right|\,d\mathbb{P} \le K \mathbb{P}\left( \Lambda_n \right) $$
Además, observe que $\lim_{K\to\infty} \left| X 1_{\left|X\right| > K} \right| = 0$ casi en todas partes en $\Omega$ así como que $\left| X 1_{\left|X\right| < K}\right| \le \left|X \right|$ casi en todas partes en $\Omega$ . Desde $\int_\Omega \left|X\right| \,d\mathbb{P} = 0$ por el teorema de convergencia dominada, concluimos que
$$ \lim_{K\to\infty} \int_\Omega \left| X 1_{\left|X\right| > K}\right| \,d\mathbb{P} = 0 $$
Por último, dado cualquier $\epsilon > 0$ podemos elegir primero $N \in \mathbb{N}$ tal que $\int_\Omega \left| X 1_{\left|X\right| > K } \right| \,d \mathbb{P} < \frac{\epsilon}{2}$ siempre que $K \ge N$ . Habiendo elegido $N$ elige $M$ tal que $\mathbb{P}\left(\Lambda_n\right) < \frac{\epsilon}{2N}$ siempre que $n\ge M$ . Así, cuando $n\ge M$ tenemos
$$\left| \int_{\Lambda_n} X \, d\mathbb{P} \right| \le N \frac{\epsilon}{2N} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Esto demuestra que
$$ \lim_{n\to\infty} \int_{\Lambda_n} X \,d\mathbb{P} = 0$$
