Definición intrínseca y geométrica de la explosión.

Question

Supongamos que tengo una variedad algebraica $X$ y un (cerrado) punto de $x \in X$. Yo sé de dos descripciones de la blow-up de $X$$x$. Uno es intrínseco, pero no geométrica: si $\mathcal{I}_x$ denota el ideal gavilla de $x$ entonces podemos definir el golpe de a $\text{Proj} \ \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{I}_x \oplus \mathcal{I}_x^2 \oplus \cdots$. El otro, que sólo funciona al $X$ es cuasi-proyectiva, es geométrica, pero no intrínseca: uno elige una incrustación $X \to \mathbb{P}^n$, define el golpe de $\mathbb{P}^n$ a un punto de forma explícita en las coordenadas y, a continuación, toma la adecuada transformación (o cualquiera que sea la terminología es) de $X$.

Espero que no es una construcción, tanto intrínsecos y geométricas (puede ser nada más que una adaptación de la $\text{Proj}$ definición). Aquí es un punto de partida para indicar lo que estoy buscando. Supongamos $x \in X$ es un nonsingular punto de sencillez, de modo que el espacio de la tangente $T_xX$ es de buen comportamiento. Como yo lo entiendo, el golpe se establece-en teoría,$X \setminus \{ x \} \sqcup \mathbb{P}(T_xX)$, pero obviamente este no es un discontinuo de la unión en el sentido de variedades. ¿Cómo puede uno hacer esto en una variedad?

Answer 1

Eisenbud y Harris' El Geoemtry de los Esquemas es un buen lugar para aprender la conexión entre estas dos construcciones. Brevemente, el Proyecto de construcción de la realidad es geométrica, a pesar de que no es tan fácil de ver hasta que usted consigue una cierta familiaridad con ella. El divisor excepcional $E = \mathbb{P}(T_x X)$ es dado como $\text{Proj } \mathcal{O}_X / \mathcal{I}_x \oplus \mathcal{I}_x / \mathcal{I}_x^2 \oplus \cdots$, con la inclusión de $E \hookrightarrow \text{Bl}_x(X)$ correspondiente a los naturales qoutient mapa de $\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{I}_x \oplus \cdots \rightarrow \mathcal{O}_x / \mathcal{I}_x \oplus \mathcal{I}_x / \mathcal{I}_x^2 \oplus \cdots$.

La otra forma útil de pensar acerca de las imágenes ampliadas a través de la universal de los bienes. Si $f: Z \rightarrow X$ es cualquier morfismos tal que $f^{-1}(x)$ es un divisor de Cartier, entonces existe un único morfismos $g : Z \rightarrow \text{Bl}_x(X)$ tal que $f$ es la composición de $g$ con el mapa de purga $\text{Bl}_x(X) \rightarrow X$. Esto también está cubierto en Eisenbud y Harris " del libro.

Otra fuente útil es el Capítulo 19 de Ravi Vakil del Fundaciones de Algebaric Geometría.