Ocupación de estados cuánticos a temperatura ambiente.

Question

Estoy leyendo sobre la física de la materia degenerada (en "Una Introducción a la Astrofísica Moderna" por Carroll & Ostlie, la sección 16.3), y el impacto de la degeneración de electrones de la presión. Me llegó a través de la cita:

En un diario de gas a temperatura y presión estándar, sólo uno de cada $10^7$ estados cuánticos es ocupado por un gas de partículas, y las limitaciones impuestas por el principio de exclusión de Pauli se vuelve insignificante.

Me estaba preguntando cómo hacer el cálculo del porcentaje de estados cuánticos ocupada a una temperatura dada. Me imagino que es una aplicación elemental de stat mech funciones de distribución (ya sea de Maxwell-Boltzmann o de Fermi-Dirac), pero no estoy seguro de los detalles.

Answer 1

Pensemos en el problema de esta manera...es un poco áspero, pero debe darle una idea:

Sabemos que los niveles de energía de una partícula en un cuadro 1D de la longitud de la $L$ está dado por la fórmula

$$E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} n^2$$

donde $n=1,2,3,\dots$. También sabemos que el promedio de la energía cinética de una partícula $\langle E\rangle$ está relacionado con la temperatura por la relación

$$\langle E \rangle = \frac 3 2 k_B T$$

Vamos a suponer que el máximo de la energía cinética de una partícula a la temperatura de $T$ es algo del orden de $ 2 \langle E \rangle =3 k_B T$ (el número real no es importante ya que estamos, después de una estimación aproximada).

Así que la pregunta es: ¿cuántos niveles de energía son posibles si el máximo de energía es $3 k_B T$?

Para responder a esta pregunta, tenemos que tomar la siguiente ecuación

$$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} n^2 = 3 k_B T$$

y resolver para $n$:

$$ n = \sqrt{\frac{6 k_B T m L^2}{\pi^2 \hbar^2}}$$

Vamos a poner algunos números en la fórmula:

• $T=300$K ($\simeq$ temperatura ambiente)
• $L=1$cm
• $m = 10^{-27}$ kg ($\simeq$ del Hidrógeno de masa)

Obtenemos

$$n \simeq 10^8$$

Nuestra partícula de curso ocupar sólo uno de los $10^8$ los posibles niveles de energía. Yo sé que no $10^7$, pero seguimos muy de cerca!

Si tenemos $N$ independiente de partículas (como en un gas ideal), el total de hamilton va a ser separables y sus autovalores será la suma de los autovalores de la partícula hamiltonianos, por lo que el argumento anterior es que no va a cambiar mucho. Incluso si consideramos un cuadro 3D no mucho va a cambiar, ya que los niveles de energía serán

$$E_{n_x n_y n_z} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} (n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$

y la áspera discusión que se dio sobre seguirá siendo más o menos el mismo. En realidad, puedo ser más explícito: los autovalores de a $N$ sin la interacción de las partículas en un cuadro 3D son

$$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}\sum_{i=1}^N (n_{x,i}^2+n_{y,i}^2+n_{z,i}^2)$$

Se los dejo a ustedes para mostrarles que lo vamos a conseguir, más o menos el mismo resultado por el número de niveles de energía.

Answer 2

La de Fermi-Dirac distribución para una partícula a en la $n_i$ estado de energía $E_i$ $\mu$ el potencial químico igual a la energía de Fermi como $T~\rightarrow~0$ es $$ \bar n_i = \frac{1}{e^{(E_i-\mu)\beta} + 1} $$ Para que la temperatura se $T~>>~0$ $\beta~=~1/kT$ es pequeña y para $E_i$ no es grande, tenemos $(E_i-\mu)\beta << 0$. Esto significa que $e^{(E_i-\mu)\beta}~\rightarrow~1$. Ahora escribo esto como $$ \bar n_i = \frac{e^{-(E_i-\mu)\beta}}{(1 + e^{-(E_i-\mu)\beta}}). $$ El plazo$e^x = 1 + x + x^2/2 + \dots$$x = {-(E_i-\mu)\beta}$, lo que nos forma lineal, de modo que $$ \bar n_i \simeq e^{-(E_i-\mu)\beta}\left(1 - (E_i-\mu)\beta\right), $$ donde teorema del binomio ha sido utilizado. Esto conduce a un aproximado de la distribución de Boltzmann.

Para una densidad de estados, el número de estados por unidad de intervalo de energía por unidad de volumen $g(E)$, la de ocupación número se calcula como $$ N(E) = \frac{g(S)}{e^{(E_i-\mu)\beta} + 1} $$