Parte de la verificación de que el par de Weil$e_m$ está bien definido.

Question

Como parte de una tarea problema, tengo que demostrar que el valor de $e_m(P,Q)$ es independiente de la elección de un punto de $S \in E[m] \setminus \{\mathcal{O},P,-Q,P-Q\}$ donde $E[m]$ es la colección de todos los puntos de una curva elíptica $E : Y^2 = X^3 + AX + B$ orden $m$.

El problema proporciona una sugerencia para corregir los puntos de $P$ $Q$ y considerar una función de $S$ $$F(S) = \left.{\frac{f_P(Q+S)}{f_P(S)}}\middle/{\frac{f_Q(P-S)}{f_Q(S)}}\right.$$ y para calcular el divisor de $F$ y usar el hecho de que todos no constante de la función en $E$ tiene al menos un cero.

Lo que sé es que $f_P$ se define como una función que tiene divisor (formal suma) $m[P] - m[\mathcal{O}]$, e $f_Q$ se define como una función que tiene divisor $m[Q] - m[\mathcal{O}]$. La brecha que no sé cómo llenar es la evaluación de la $f_P$ (o $f_Q$) en un punto distinto $P$ (o $Q$).

Yo creo que lo que estoy más confundido acerca de cómo representar la función racional $f_P$ en un modo distinto a lo que su suma es. Podría alguien explicar esto?

Answer 1

Si$f_P(S)$ es una función con el divisor$m[P]-m[\mathcal{O}]$, entonces$f_P$ tiene un cero en$P$ y un polo en$\mathcal{O}$. Luego, para una constante fija$T$, la función$h_{P,T}(S)=f_P(T+S)$ es simplemente una traducción de$f_P$ por$T$. Por lo tanto,$h_{P,T}$ tiene un cero cuando$T+S=P$, es decir, en$S=P-T$ y un polo en$T+S=\mathcal{O}$, es decir, en$S=-T$. Además, las multiplicidades de estos ceros y polos coinciden para$h$ y$f$. Por lo tanto, el divisor de$h_{P,T}$ debe ser$m[P-T]-m[-T]$.

¿Esto ayuda?