¿Es posible encontrar una solución radical de$\sin(5\beta)+\sin(\beta)=1$ y encontrar una aproximación radical de$\pi$?

Question

ABCD es una unidad cuadrada. Hay 2 círculos en la imagen. El centro de uno es y pasa de F. El centro de otro es D y pasando de C.
Si $\alpha=2\beta$ Tengo los siguientes resultados

$|AF|=x$

$\cos(2\beta)=\frac{1}{x}$

y de isoscale triángulo (ADG): $\sin(3\beta)=\frac{x}{2}$

$\sin(3\beta)\cos(2\beta)=\frac{1}{2}$

$\sin(5\beta)+\sin(\beta)=1$

$\sin(\beta)=P$

mi primera pregunta: ¿Es posible encontrar una solución de P a través de los radicales?

Segunda pregunta: Durante mi dibujo de la figura que el Área de (CGH región) es igual a aproximadamente el Área de (HBF región) (sólo he notado con el dibujo geométrico de la herramienta).No voy a decir que son iguales, Porque sé muy bien que es imposible Cuadrar un círculo.(más info en la Wiki link)

Intento encontrar la aproximación de las $\pi$ en radicales a través de la figura si es posible. Nota:Si usted conoce muy interesante, $\pi$ aproximaciones a través de Cuadrar un círculo, me gustaría saber de ellos. Gracias por los consejos y respuestas

EDITAR:

Le pregunté a wolfram alpha. Llegué a quinto grado polinom con coeficientes reales.

$\sin(5\beta)+\sin(\beta)=1$

$\sin^5(\beta)+5\sin(\beta)\cos^4(\beta)-10\sin^3(\beta)\cos^2(\beta)+\sin(\beta)=1$

$\sin^5(\beta)+5\sin(\beta)(1-\sin^2(\beta))^2-10\sin^3(\beta)(1-\sin^2(\beta))+\sin(\beta)=1$

$\sin(\beta)=P$

$16P^5-20P^3+6P=1$

Realmente $P=\sin(\pi /6)=\frac{1}{2}$ es una solución de la polinom.

Todas las raíces están en el enlace. Qué lástima que wolfram no me ofrecen soluciones radicales para 4 grado polinom . Voy a buscar otras herramientas para encontrar soluciones radicales de las raíces. Para mi segunda pregunta de la ACTUALIZACIÓN:

Me decidí a ver si realmente Áreas están eqaul el uno al otro.

el root es para mi primer dibujo: voy a tomar la solución de $P\approx0.188286$ de wolfram solución.

$\sin(\beta)\approx0.188286$

$\beta\approx0.189416$

$|AF|=x$

$\cos(2\beta)=\frac{1}{x}$

$x=\frac{1}{\cos(2\beta)}\approx1.076314$

Área de (CGH región)= (wiki link)

Área de (HBF región)= (Wiki Link)

RESULTADO: me pregunto si puedo usar más dígitos de la raíz en qué Áreas será. parece que la solución numérica de las áreas están muy cerca unos de otros. Voy a actualizar si encuentro solución radical de polinom y voy a actualizar si me encuentro con algunos otros resultados. Su ayuda será muy apreciado para analizar los resultados.

Muchas gracias a Chris K. Caldwel por su contribución. Me atrajo la solución que él ofrece .

Answer 1

No creo que esta respuesta significativo, pero si usted necesita esto raíces, aquí están $$ x_1=\frac{1}{2} $$ $$ x_2=-\frac{1}{8}-\frac{1}{8 \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{35}{24}-\frac{1}{24} \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}-\frac{1}{12} \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}-\frac{15}{8} \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}} $$ $$ x_3=-\frac{1}{8}-\frac{1}{8 \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{35}{24}-\frac{1}{24} \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}-\frac{1}{12} \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}-\frac{15}{8} \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}} $$ $$ x_4=-\frac{1}{8}+\frac{1}{8 \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{35}{24}-\frac{1}{24} \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}-\frac{1}{12} \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}+\frac{15}{8} \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}} $$ $$ x_5=-\frac{1}{8}+\frac{1}{8 \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{35}{24}-\frac{1}{24} \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}-\frac{1}{12} \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}+\frac{15}{8} \sqrt{\frac{3}{35+2 \sqrt[3]{3160-24 \sqrt{1713}}+4 \sqrt[3]{395+3 \sqrt{1713}}}}} $$ Los valores numéricos de $$ x_1=0.500000000000000000000000000000, $$ $$ x_2=-0.821076869248865871679368938530-0.147733318623280702329856547465 yo, $$ $$ x_3=-0.821076869248865871679368938530+0.147733318623280702329856547465 yo, $$ $$ x_4=0.188285649881385672907404476142, $$ $$ x_5=0.953868088616346070451333400918 $$ El respecitive ángulos $\beta=\arcsin(x)$ en radianes son $$ \beta_1=0.523598775598298873077107230547, $$ $$ \beta_2=-0.923163176894719154945644411954-0.242491674789456740938340067472 yo, $$ $$ \beta_3=-0.923163176894719154945644411954+0.242491674789456740938340067472 yo, $$ $$ \beta_4=0.189416282605918466874902490444, $$ $$ \beta_5=1.26586671937652178290413890330 $$ Las áreas de dominios $CGH$, $HBF$ están dadas por las fórmulas $$ S_{CGH}=3 \beta\frac{1}{2} \sin (6 \beta )-\frac{1}{2} \beta \s ^2(2 \beta )-\frac{1}{2}\sqrt{\s ^2(2 \beta )-1}-\frac{\pi }{4}+1 $$ $$ S_{HBF}=\beta \s ^2(2 \beta )-\frac{1}{2} \sqrt{\s ^2(2 \beta )-1} $$ El respecitve numericals valores de $CGH$ $$ S_{CGH,1}=-0.127824791583588083302276786026, $$ $$ S_{CGH,2}=-3.99683686501392644407946565939-0.54938014174210294554189328651 yo, $$ $$ S_{CGH,3}=-3.99683686501392644407946565939+0.54938014174210294554189328651 yo, $$ $$ S_{CGH,4}=0.0205233661564834188106917673615, $$ $$ S_{CGH,5}=2.23756796644691039586047775118 $$ para $HFB$ $$ S_{HFB,1}=1.22836969860875684554470575143, $$ $$ S_{HFB,2}=0.15747480940566025178679372899+3.71420167984539571383021593893 yo, $$ $$ S_{HFB,3}=0.15747480940566025178679372899-3.71420167984539571383021593893 yo, $$ $$ S_{HFB,4}=0.0203997399628726939700469522529, $$ $$ S_{HFB,5}=1.53450150774254892235003332376 $$ Los cálculos se hicieron a través de Mathematica $8$ $30$ dígitos de precisión.