Ir a través de mi análisis funcional notas del curso, me siento como que hay dos pruebas diferentes para el siguiente teorema.
En $\mathbb{R}^n$ (o $\mathbb{C}^n$), cualquiera de las dos normas son equivalentes.
Uno de ellos utiliza la compacidad fenómenos extremos relacionados con el teorema del valor (es decir, una función continua en el compacto conjunto debe alcanzar sus valores máximos y mínimos), mientras que el otro utiliza la asignación abierta teorema (i.e, para cada lineal continuo en relación con la asignación $T$ a partir de un espacio de Banach $X$ en otro espacio de Banach $Y$, y cada una de las $U \in X$ abierto, $T(U)$ es abierto). Estos dos teoremas utilizar diferentes hipótesis y no son equivalentes. Por lo tanto, yo soy la sospecha de que estoy haciendo algo mal.
Mi pregunta es si ambas pruebas son correctas, o si estoy haciendo algo mal aquí.
Pasos comunes de las dos pruebas de
- Define (recordar) la $\|.\|_\text{sup}$ norma $\|x\| = \sup_{i} |x_i|$.
- (*) Demostrar que para cualquier norma $\|.\|_b$ a $\mathbb{R}^n$, existe una $M_b > 0$, de tal manera que para todos los $x \in \mathbb{R}^n$, $\|x\|_b \leq M_b \|x\|_\text{sup}$ (ver por ejemplo aquí en cómo encontrar a $M_b$).
Prueba con extrema teorema del valor
- A partir de (*) se deduce que cualquier norma $\|x\|_b$ es continua w.r.t $\|x\|_\text{sup}$ norma.
- (+) Utilice el hecho de que la unidad de la esfera (del sup norma) es compacto en $\mathbb R^n$, (*), y el teorema del valor extremo para deducir que $\|x\|_b$ logra un mínimo de $m_b$ en la unidad de la esfera (del sup norma). En otras palabras, no existe $m_b > 0$ tal que $\|x\|_b \geq m_b \|x\|_\text{sup}$ para todos los $x \in \mathbb R^n$.
- La combinación de (+) y (*), obtenemos que cualquier norma $\|.\|_b$ e $\|.\|_\text{sup}$ son equivalentes $\blacksquare$
Prueba con la asignación abierta teorema de la
Esta es la prueba de que no estoy seguro acerca de.
A partir de la asignación abierta teorema, se puede probar que (ver, por ejemplo, aquí una prueba):
Deje $\|.\|_1$ e $\|.\|_2$ ser normas en un espacio de Banach $X$, de tal manera que $\|x\|_1 \leq\|x\|_2$. A continuación, las normas son equivalentes.
Ahora combine esto con (*) con el hecho de que $\mathbb R^n$ es completa (de Banach), y consigue que cualquier norma en $\mathbb{R}^n$ es equivalente a la $\|.\|_\text{sup}$ norma $\blacksquare$
