Buscar el valor de

Question

Defina la secuencia $a_n=\cos(2n) \quad (n\geq1)$ y $f(x)=\frac{x}{\vert x \vert}$ . Encuentra el valor de $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\vert f(a_{k+1})-f(a_k) \vert$ $

No sé cómo acercarme. No pude encontrar ninguna regulación del numerador (me refiero a la parte de la suma).

Answer 1

i) $\frac{1}{n}\sum_k\ |f(a_{k+1}-f(a_k)|$ es el promedio de $ |f(a_{k+1}-f(a_k)| $

ii) $\{\cos\ 2n |n\in \mathbb{N}\}$ se distribuye de manera uniforme en $[-1,1]$

iii) Suponga que $ -\pi/2+M\pi <a_n<\pi/2+M\pi$ para algunos $M$. Por lo que el la probabilidad de $ -\pi/2+M\pi <a_n<-\pi/2+M\pi+2$ es $\frac{2}{\pi}$ así que la expectativa de $ |f(a_n)-f(a_{n-1}) |$ es $\frac{4}{\pi}$.