Resolviendo ODE - Curva de espacio Frame

Question

Estoy tratando de calcular el paralelo marco de $\{T, U, V\}$ de un espacio de la curva de $\alpha : I \mapsto \mathbb{R}^3$. Es similar a la de Frenet marco, excepto en su lugar, tenemos la proyección de torsión $\tau$ a $U$: $\tau_U = 0$

Es descrito por los tres ecuaciones, $$T' = \kappa_U U + \kappa_V V \quad \quad \quad \quad \ \ (1)$$ $$U' = -\kappa_U T = -\langle \kappa,U \rangle \ T \quad \quad (2)$$ $$V' = -\kappa_V T = -\langle \kappa,V \rangle \ T \quad \quad (3)$$

donde $\kappa = T'$ es el vector curvatura y $\kappa_U, \kappa_V$ son sus componentes. Sé $T$, $\kappa$ y las condiciones iniciales $\{T(0), U(0), V(0)\}$ a $\alpha(0)$ pero no sé cómo resolver el ODE $(2)$ e $(3)$ con el fin de obtener $U$ e $V$.

Cualquier sugerencia o una nota sobre lo que debe buscar sería genial!

Answer 1

Para encontrar $U$ e $V$ considerar en primer lugar el marco de Frenet $\{T,N,B\}$ a lo largo de una unidad de velocidad de la curva (o donde exista). Sabemos que este marco explícitamente desde $N=T'/\|T'\|$ e $B=T\times N$. También tenga en cuenta que no existe localmente una función suave $\theta\colon I \to \mathbb{R}$ tales que $$U = \cos \theta N + \sin \theta B.$$ Derivando $U$da $$ U' = -\kappa \cos\theta T + (\theta'+\tau)(-\sin\theta N + \cos\theta B). $$ Vemos que $U$ satisface ODE $(2)$ fib $\theta' = -\tau$. También el valor inicial $\theta(0)$ está determinado por $U(0)$, por lo que nos encontramos con $\theta$ desde este: $$ \theta = -\int \tau\,dt + \mathrm{const.} $$ El campo de vectores $V$ se determina de manera similar. Tenga en cuenta que el producto interior $U\cdot V$ es constante a lo largo de la curva. Así que si $U(0)$ e $V(0)$ son ortogonales, se puede tomar $V=\pm T \times U$.

Nota: Usted puede hacer el mismo cálculo, comenzando con una arbitraria adaptado marco de $\{T,N_1,N_2\}$. Usted encontrará la condición de $\theta' = -N_1' \cdot N_2$.

Probablemente usted encontrará en este artículointeresante: Hay más de una manera para el marco de la curva. por R. L. Obispo (La American Mathematical Monthly, 1975).