Qué $\lim \frac {a_n}{b_n}=1$ implican $\lim \frac {f(a_n)}{f(b_n)}=1$?

Question

Yo quería demostrar la afirmación aparentemente sencilla:

Si $\lim \frac {a_n}{b_n}=1$ $f$ continuo con $f(b_n)\neq0$ $\lim \frac {f(a_n)}{f(b_n)}=1.$

Empecé con prontitud

\begin{align} \\ \lim \frac {f(a_n)}{f(b_n)} &= \lim \frac { f(b_n \times \frac{a_n}{b_n})}{f(b_n)} \\ &= \frac { f(b_n \times \lim\frac{a_n}{b_n})}{f(b_n)} \\ &= \frac { f(b_n \times 1)}{f(b_n)} \\ &= 1 \end{align}

Sin embargo, dos segundos más tarde me di cuenta de lo absurdo que era y que me cayó víctima de uno de los de primer año de los sueños.

Te agradecería mucho una sugerencia para una prueba o un contraejemplo si la declaración resulta ser falsa.

Answer 1

Tome $a_n= n+1, b_n =n$ $f(x)=e^x$ para un contra-ejemplo.

Answer 2

Esto no es cierto. Vamos $a_n = n + \log n$, $b_n = n$, $f(x) = e^x$. A continuación,$\lim \frac{a_n}{b_n} = 1$, pero $\frac{f(a_n)}{f(b_n)} = e^{\log n} = n$ no converge a 1. Este es un problema con el uniforme de la continuidad, creo.

Edit: el principio de que, uniforme de continuidad no es suficiente. Pero si $f$ es continua y $a_n, b_n$ son acotados, y $f$ se apartó de cero, puede ser posible, pero eso es un montón de condiciones.

Answer 3

Un contraejemplo con delimitada $f$:

$$a_n = n\pi,\quad b_n = \left(n+\frac12\right)\pi, \quad f(x) = \sin x$$

---

Por supuesto, tan pronto como $\lim\limits_{n\to\infty} a_n$ existe, por lo tanto no $\lim\limits_{n\to\infty} b_n$, de donde:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1 \iff \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n$$

y a partir de esta última identidad, podemos deducir con facilidad (siempre $\liminf\limits_{n\to\infty} |f(b_n)| > 0$; gracias Hagen von Eitzen):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n)}{f(b_n)} = 1$$

---

Por otra parte, si $a_n,b_n$ son acotados, por $C$, dicen, entonces:

\begin{align} & &\left|\frac{a_n}{b_n} - 1\right| &< \epsilon \\ \iff& &\left|a_n - b_n\right| &< |b_n|\epsilon < C \epsilon \end{align}

lo que significa que si desde $f$ es uniformemente continua en a $[-C,C]$, podemos asegurar $|f(a_n)-f(b_n)| < \epsilon_2$. (Aquí, $C$ podría ser sustituido por algo que excede el máximo de $\limsup |a_n|$$\limsup |b_n|$.)

Si, además,$\inf\limits_{n \in \Bbb N}|f(b_n)| > 0$, obtenemos $D = \sup\limits_{n\in \Bbb N} \dfrac1{|f(b_n)|} < \infty$, lo que significa que:

$$\left|\frac{f(a_n)}{f(b_n)}-1\right| < \frac{\epsilon_2}{|f(b_n)|} < \epsilon D$$

La combinación de todo esto nos permite inferir la conclusión deseada, que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n)}{f(b_n)} = 1$$

---

NB. Como nik puntos, si $f$ es continua, y se definen en $[-C,C]$, entonces es uniformemente continua debido a la Heine-Cantor teorema.

Answer 4

Después de todos los otros ejemplos, vamos a tratar de $f$ acotada uniformemente continua y $(a_n)$ convergentes (y, por supuesto,$\lim a_n=\lim b_n$):

$$ f(x)=\begin{cases}\arctan x\cdot\sin\frac1{x^2}&\text{if } x\ne 0,\\0&\text{if }x=0.\end{cases}$$ $$ b_n=\frac1{\sqrt{2n\pi+\frac1n}}$$ $$ a_n=\frac1{\sqrt{(2n+\frac12)\pi}}$$ Entonces $a_n\to 0$, $\frac{a_n}{b_n}=\sqrt{\frac{(2n+\frac12)\pi}{2n\pi+\frac1n}}\to 1$, $\frac{f(a_n)}{f(b_n)}=\frac{\arctan a_n}{\arctan b_n}\frac{\sin((2n+\frac12)\pi)}{\sin(2n\pi+\frac1n)}\sim 1\cdot \frac1{1/n}=n$.