¿Cómo encontrar el radio de este círculo más pequeño?

Question

La pregunta dice, "de Un círculo inscrito en un triángulo cuyos lados son $40$ cm, $40$ cm y $48$ cm respectivamente. Un círculo más pequeño es el contacto de dos lados iguales del triángulo y el círculo. Encontrar el radio del círculo más pequeño."

Puedo encontrar el radio de la circunferencia inscrita con bastante facilidad por suponiendo que el radio de $r$, y el uso de la Fórmula de Herón: $$\frac{1}{2} * r * (40 + 40 + 48) = \sqrt{\left(\frac{40 + 40 + 48}{2}\right) \left(\frac{40 + 40 + 48}{2}-40\right)\left(\frac{40 + 40 + 48}{2}-40\right)\left(\frac{40 + 40 + 48}{2}-48\right)}$$

En el que se evalúa para dar : $r = 12$, por lo que El círculo inscrito tiene un radio de $12$ cm.

Pero El círculo más pequeño sólo está en contacto con el otro círculo, y yo no puedo conseguir que todo funcione como construcciones o etc. La trigonometría no funciona demasiado (tal vez estoy haciendo mal, soy un estudiante de Grado 11 de todos modos).

Lo más que puede hacer es encontrar el área que no está ocupada por el círculo, pero ocupado por el triángulo simplemente restando las áreas de ambos. [Que es $768 - \pi*(12)^2$ cm].

Y esta pregunta fue en una pequeña beca de papel a los que he asistido, y también tenía algunas preguntas más gusta (me vino a resolver la mayoría de ellos).

Answer 1

Vea la figura de abajo. Una unidad en el papel es de seis unidades en su problema. $AB=48,AC=40,BC=40$. Círculo de $D$ tiene radio de $12$ como usted dice. $HI$ es tangente a ambos círculos y en paralelo a $AB$, lo $ABC$ es similar a la que el pequeño triángulo cortado por $HI$. $EC=32$ por Pitágoras, $EG=24$ desde el círculo, por lo $CG=8$ y el triángulo pequeño es $\frac 14$ el tamaño de la grande. Que dice que el radio del círculo pequeño es $\frac 14 \cdot 12=3$

Answer 2

PS

Answer 3

Vamos en $\Delta ABC$ tenemos $AB=AC=40$ e $BC=48.$

También, vamos a $(I,12)$ ser un determinado círculo, que toca a $AC$ e $BC$ en el punto de $E$ e $D$ respectivamente, $(O,x)$ ser el pequeño círculo, que tocó a $AC$ en el punto de $F$.

Por lo tanto, $$AE=\frac{40+40-48}{2}=16$$ and since $\Delta AIE\sim \Delta AOF,$ obtenemos: $$\frac{AF}{AE}=\frac{OF}{IE}$$ o $$\frac{AF}{16}=\frac{x}{12},$$ que da $$AF=\frac{4}{3}x,$$ $$FE=16-\frac{4}{3}x$$ y por la del teorema de Pitágoras obtenemos: $$FE=2\sqrt{IE\cdot OF}$$ o $$16-\frac{4}{3}x=2\sqrt{12x}.$$ Puede usted terminar ahora?