Muestra que$(I − P)^2 = I − P$ si$P=P^2$

Question

Deje $P $ ser $n \times n$ matriz y $I$ ser $n \times n$ matriz identidad. Mostrar que $$ (I − P)^2 = I − P $$ is valid if $P = P^2$.

Hice lo siguiente.

$$(I - P)^2 = I^2 - IP - PI + P^2 = I - P$$

donde $I^2 = I $ porque es la matriz de identidad. Es esto suficiente para mostrar o ¿me olvido de algo?

Answer 1

Solo puedo especular sobre qué significa "algo" (pensé que indicaba el elemento $s$ th de alguna secuencia, al principio, para un número natural $s$ ) ¡pero diría que está cerca!

Sería un poco más explícito en esta etapa.

\begin{eqnarray}(I-P)^2 &=& I^2-IP-PI+P^2\\ &=& I-P-P+P^2\\ &=& I-P-P+P\\ &=& I-P\end {eqnarray}

¿Puedes justificar cada igualdad?