Mostrar que el polinomio característico es el mismo que el polinomio mínimo.

Question

Deje $$A =\begin{pmatrix}0 & 0 & c \\1 & 0 & b \\ 0& 1 & a\end{pmatrix}$$ Mostrar que la característica y un mínimo de polinomios de $A$ son los mismos.

Ya he computated el polinomio característico

$$p_A(x)=x^3-ax^2-bx-c$$

y yo sé, de aquí que si se pudiera demostrar que los subespacios propios de a$A$ todos han dimensión $1$, me gustaría hacer. El problema es que la solución para que los autovalores de esta (muy general) cúbicos ecuación es difícil (aunque es posible), es decir, sería difícil encontrar las bases de los subespacios propios.

Una sugerencia se agradece.

Answer 1

Calcular: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & c & ac \\ 0 & b & c + ab \\ 1 & a & b + a^2\end{pmatrix}.$$ Así, sólo tenemos que mostrar que $A^2, A, I$ son linealmente independientes. Claramente $A$ no es un múltiplo de a$I$, tan sólo tenemos que mostrar que no hay solución a la ecuación $$A^2 = pA + qI \iff \begin{pmatrix} 0 & c & ac \\ 0 & b & c + ab \\ 1 & a & b + a^2\end{pmatrix} = p\begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & a\end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ para $p$ e $q$. En particular, si usted examine las entradas en la columna de la izquierda de la fila inferior, obtenemos $$1 = 0p + 0q,$$ lo que significa que en verdad no hay solución. Por lo tanto $I, A, A^2$ son linealmente independientes, por lo que no cuadrática de $A$ será igual a la $0$ matriz. Por lo tanto, el polinomio mínimo debe ser (al menos) un cúbicos, y igual al polinomio característico

Answer 2

La forma de $A$ tiene un nombre especial: el compañero de la matriz del polinomio $p(x)=x^3-ax^2-bx-c$.

Para el estándar de base $e_1,e_2,e_3$, uno encuentra que las $Ae_1=e_2$, $Ae_2=e_3$, lo $\{e_1,Ae_1,A^2e_1\}$ formas de base.

El contexto general es el compañero $n\times n$ matriz del polinomio $$p(x)=x^n-c_{n-1}x^{n-1}-\cdots-c_1x-c_0.$$ A vector $v$ is said to be a cyclic vector for $$ if the iterates by $$ of $v$ for a basis for $R^n$. Como otros señalan, esto es suficiente para demostrar que el polinomio mínimo es el mismo que el polinomio característico.

Answer 3

Suponiendo que usted ya sabe que de acuerdo a Cayley-Hamilton ha $p_A(A) = O_{3\times 3}$ también puede proceder de la siguiente manera:

• Deje $e_1, e_2, e_3$ denotar la base canónica $\Rightarrow Ae_1=e_2, Ae_2 = e_3 \Rightarrow A^2e_1 = e_3$

Ahora, suponga que hay un polinomio $m(x)=x^2+ux+v$ tal que $m(A) = O_{3\times 3}$.

La aplicación de $m(A)$ a $e_1$da $$m(A)e_1 = A^2e_1 + uAe_1 + ve_1 = e_3 +ue_2 + ve_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \mbox{ Contradiction!}$$ La combinación lineal no pueden ser el resultado en el vector cero como el coeficiente de la base de vectores $e_3$ es $1$.