Romper la simetría espontánea: probar la equivalencia de dos definiciones

Question

Esta pregunta puede ser planteada por tanto cuántica y clásica set-ups. Para la concreción, permítanme considerar un local clásico de Hamilton $H$. La expectativa de valores considero que con respecto a la costumbre clásica de la función de partición, es decir, $\langle \mathcal A \rangle = \frac{1}{Z} \int \mathcal A e^{-\beta H}$ (supresión de la integración de la variable).

Deje $\mathcal O(\boldsymbol r)$ ser un local físico observable que sería igual a cero si el sistema obedece a una simetría en particular. Hay dos formas comunes de la caracterización de la ruptura espontánea de esta simetría:

1. De largo alcance de la orden: $$\boxed{\lim_{|\boldsymbol{r-r'}| \to \infty} \langle \mathcal O(\boldsymbol r) \mathcal O(\boldsymbol{r'}) \rangle \neq 0}. $$
2. El doble límite: $$\boxed{\lim_{h \to 0} \lim_{V \to \infty} \langle \mathcal O (\boldsymbol r) \rangle_h \neq 0},$$ where the average is with respect to the perturbed Hamiltonian $H_h = H + h \int \mathcal O(\boldsymbol r) \mathrm d^D \boldsymbol r$ and $V$ indica el tamaño del sistema (es decir, el primer límite es el límite termodinámico).

Se puede demostrar que estas condiciones son equivalentes? Claramente la localidad de el Hamiltoniano es esencial (pero la función de partición no es un objeto local, por lo que uno simplemente no puede factorizar, por ejemplo, los dos puntos de función en la primera definición!)

Como alternativa, hay un contra-ejemplo a la afirmación de que estas dos definiciones son equivalentes?

Answer 1

Sí, esto puede ser probado.

Permítanme en primer lugar discutir esto en el caso clásico, y luego darle punteros a donde usted puede aprender más sobre la cuantía de los casos.

Lo primero que usted tiene que tener cuidado, al escribir sus expectativas, para especificar el estado con respecto a la que está actualmente el cómputo de la expectativa. En este sentido, los físicos' hábito de designar a la expectativa simplemente por generic corchetes $\langle \cdot \rangle$ es muy malo. No hay ningún problema para su "doble" límite de expectativa (siempre que se deje $h\to 0$ utilizando valores positivos), pero la expectativa en su "de largo alcance de la orden" el caso es ambiguo y los resultados realmente depende de lo que se supone que significa eso.

En efecto, cuando un primer orden de la fase de transición se produce (que es precisamente lo que le interesa), hay infinitamente muchas Gibbs medidas que describen el sistema en el límite termodinámico. El conjunto de todas estas medidas es siempre un simplex, es decir, un conjunto convexo tal que cada elemento puede ser escrito de una manera única como combinación convexa de extremal elementos, siendo estos últimos aquellos que no pueden ser descompuestas en una no-forma trivial. En el modelo de Ising, por ejemplo, la traducción (invariante) extremal medidas son las correspondientes a la habitual $+$ e $-$ fases. En un sentido, la única físicamente medidas relevantes son la extremal, la otra describiendo estadístico de mezclas, y por lo tanto no contiene ningún adicionales interesantes de la física.

La primera declaración luego de que una medida es extremal si y sólo si es de la mezcla. Esto último significa, precisamente, que la expectativa de que el producto de cualquier par de locales observables $\langle \mathcal{O}(r) \mathcal{O}(r')\rangle$ converge, como $|r'-r|\to\infty$ al producto de las expectativas de $\langle \mathcal{O}(r) \rangle \langle \mathcal{O}(r')\rangle$. Tenga en cuenta que este es un "si y sólo si" declaración", por lo que la demanda se produce un error si el estado está considerando no es extremal (por ejemplo, se produce un error para el modelo de Ising si usted considera que el estado obtiene mediante libre o periódico de las condiciones de contorno y cero campo magnético).

En cuanto a la segunda parte (con el "doble límite"), el punto es que al tomar este límite (con $h\downarrow 0$, es decir, $h\to 0$ el uso de valores positivos, el único) que están llegando (en el límite), precisamente el extremal del estado en virtud de la cual el observable tiene mayor valor esperado. Por ejemplo, si se toma el límite de $h\downarrow 0$ en el modelo de Ising, obtendrá el valor esperado de la observables en virtud de la $+$ estatal.

La equivalencia desea así sigue inmediatamente si el estado utiliza para el "largo alcance de la orden" es el estado que se obtiene dejando $h\downarrow 0$ en la "doble límite".

Las declaraciones anteriores son estándar y se pueden encontrar en varios lugares, entre los cuales nuestro libro, Georgii del libro o de Simón libro.

Demandas similares, también tienen en el quantum caso. Instrucciones precisas y las pruebas se pueden encontrar, por ejemplo, en el Capítulo IV de Simón del libro.

Answer 2

Yvan cubierto el más simple situación en la que el estado utiliza en 1) sobre el intervalo pedido es una extremal decir $+$ estatal. Sin embargo, para un ferromagnético escalar modelo de valor como Ising o de celosía $\phi^4$ la equivalencia de 1) y 2) aún se mantiene, pero es mucho más difícil de probar. Aquí el estado que estoy hablando en 1) es precisamente la Yvan dijo que se debe evitar, a saber, el cero y el campo magnético y libre de condiciones de frontera, así que no hay nada para romper la simetría entre $+$ e $-$ giros. Si se puede demostrar que sólo hay dos extremal estados $\langle\cdot\rangle_{+}$ e $\langle\cdot\rangle_{-}$ mostrando 1) implica 2) no es difícil. Pero si uno no sabe cómo descartar la posibilidad de que más extremal de los estados, luego mostrando 1) implica 2) es más difícil.

Usted puede encontrar una prueba en el caso de un ferromagnético (unbounded spin) $\phi^4$ modelo debido a Chandra, Guadagni y a mí en la sección 4.7 de Chandra de la tesis: Construcción y Análisis de una estructura Jerárquica Masa la Teoría Cuántica de campos.

y para $\{-1,1\}$valores de Ising tiradas en este artículo por Aizenman, Duminil-Copina y Sidoravicius: Al azar de las Corrientes y la Continuidad del Modelo de Ising de la Magnetización Espontánea.

Nota: esta pregunta es acerca de un círculo de ideas llamado "la nitidez de las transiciones de fase". Es decir, uno puede tener varias definiciones antagónicas de la crítica de la inversa de la temperatura de $\beta_c$. Por ejemplo, uno podría tener $\beta_{c,\chi}$ como el infimum de $\beta$'s donde la susceptibilidad diverge. Se puede definir $\beta_{c,SM}$ como el infimum de $\beta$'s donde la magnetización espontánea es distinto de cero (es decir, el punto 2) en la pregunta anterior). También se puede definir $\beta_{c,LRO}$ como el infimum de $\beta$'s, donde uno tiene de largo alcance de la orden, es decir, el punto 1) anterior para el simétrica $h=0$ estatal. En general, se ha $$ \beta_{c,\chi}\le \beta_{c,SM}\le \beta_{c,LRO} $$ pero a veces se puede mostrar la igualdad como en la literatura sobre la nitidez de las transiciones de fase.