Necesito ayuda con la integral$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x+1} \, dx$

Question

He sido atrapado en una integral para los días ahora, y me gustaría conseguir un poco de ayuda con esto:

$$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x+1} \, dx$$

Mi maestro fue también "tipo" lo suficiente como para darme la respuesta a otro similar integral:

$$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{\pi^4}{15}$$

Así que yo (basado en la respuesta) calcular la integral:

$$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x+1} \, dx$$

Yo no puedo ver cómo podemos simplificar/sustituto de nada, así que, va a coincidir con la "ayuda integral", por lo que podemos usar este valor para calcular la integral real.

Primer post en esta página, así que por favor, ser amable! :)

Answer 1

Cuando $A=\int\frac{x^3}{e^{x}+1}dx,\ B= \int\frac{x^3}{e^{x}-1}dx$ , entonces $$AB = \ int \ frac {-2x ^ 3 \, dx} {e ^ {2x} -1} = \ int \ frac {- t ^ 3/4} {e ^ t-1} \ frac {dt} {2} = - \ frac {1} {8} B$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\dfrac{x^3}{e^x+1} - \dfrac{x^3}{e^x-1} = x^3 \cdot \dfrac{-2}{e^{2x}-1} = -\dfrac{1}{4} \dfrac{(2x)^3}{e^{2x}-1}, así que $$\begin{gather}\int_0^\infty \dfrac{x^3}{e^x+1} \, dx - \int_0^\infty \dfrac{x^3}{e^x-1} \, dx = \\[6pt] =-\dfrac{1}{4} \int_0^\infty \dfrac{(2x)^3}{e^{2x}-1}\,dx = -\dfrac{1}{8} \int_0^\infty \dfrac{(2x)^3}{e^{2x}-1}\,d(2x) = -\dfrac{1}{8} \int_0^\infty \dfrac{u^3}{e^{u}-1}\,du.\end {se reúnen}$$

Answer 3

Un método que utiliza la serie.

Tenga en cuenta que $$f(x)=\frac{x^3}{e^x+1}=\frac{x^3}{2e^{x/2}}\text{sech }\frac{x}2$$ Y, a continuación, recordar que para $x>0$ $$\text{sech }x=-2\sum_{k\geq1}(-1)^ke^{(1-2k)x}$$ Por lo $$f(x)=\sum_{k\geq1}(-1)^{k+1}x^3e^{-kx}$$ Por lo tanto $$J=\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x+1}dx=\sum_{k\geq1}(-1)^{k+1}\int_0^\infty x^3e^{-kx}dx$$ El final de la integral: $$\begin{align} q_k&=\int_0^\infty x^{3}e^{-kx}dx\\ &\overset{kx\mapsto x}=\frac1{k^4}\int_0^\infty x^{4-1}e^{-x}dx \end{align}$$ A continuación, recordar la definición de la función Gamma: $$\Gamma(s)=(s-1)!=\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\qquad \text{Re }s>0$$ Por lo tanto $$q_k=\frac6{k^4}$$ Lo que da $$J=6\sum_{k\geq1}\frac{(-1)^{k+1}}{k^4}=6\eta(4)=\frac{7\pi^4}{120}$$ Donde $\eta(s)$ es la de Dirichlet Eta Función.

De hecho, se puede demostrar que $$\int_0^\infty \frac{x^s}{e^x+1}dx=(1-2^{2-s})\Gamma(s+1)\zeta(s-1)$$ Con el mismo enfoque.

Answer 4

Si está interesado en un enfoque para obtener ambas integrales sin saber tampoco, $$\int_0^\infty\frac{x^3e^{-x}dx}{1\pm e^{-x}}=\sum_{n\ge 1}(\mp 1)^{n-1}\int_0^\infty x^3e^{-nx}dx=6\sum_{n\ge 1}\frac{(\mp 1)^{n-1}}{n^4},$$ giving either $6 \ zeta (4)$ or $6 \ eta (4)$ .

Answer 5

La integración por partes con $u=x^3$ y $dv=\frac {dx}{e^x+1}$ puede comenzar en el camino correcto.