Cubriendo un conjunto compacto con bolas cuyos centros no pertenecen a otras bolas.

Question

Deje $K\subset \Bbb R^n$ ser un conjunto compacto tal que cada una de las $x\in K$ está asociado con un número positivo $r_x>0$.

Reclamo: $K$ puede ser cubierto por una familia de bolas $$ \mathcal B = \{ B(x_i,r_i) : i=1,\dots,k\ \}, $$ donde $r_i := r_{x_i}$, tal que para cualquier distintos $i,j \le k$, tenemos $$ x_i\noen B(x_j,r_j) \quad\text{y}\quad x_j\noen B(x_i,r_i). $$

Es la afirmación verdadera sin supuestos adicionales en $r_x$'s?

Al principio pensé en usar el lema de Zorn para extraer un máximo de la subfamilia de las bolas de $\mathcal F = \{B(x,r_x/2) : x\in K \}$ tal que cualquier par de bolas es distinto. Sin embargo, la ampliación de las radios por un factor de $2$ no puede ser una cubierta de $K$ por lo que este enfoque puede no funcionar.

Answer 1

Creo que @Fedja del contraejemplo en el MO contraparte de la pregunta, funciona bastante bien. Su respuesta es digno de mencionar aquí:

Este trivial contraejemplo en $\mathbb R^2$ debería haberme tomado cinco minutos. En lugar de eso, me pasé casi dos días. La moral es el habitual: después de los 50 es mejor que dar hasta en las matemáticas.

Deje $y,z$ 2 puntos a una distancia $1$ unos de otros. Vamos a construir por la inducción de una secuencia de puntos de $x_j$ y radios $r_j>\max(d(x_j,y),d(x_j,z))$ tal que $x_j\to y$ cuando $j$ es impar, $x_j\to z$ cuando $j$ es incluso, $x_j$ no se encuentran en la línea de $yz$, $\max(d(x_j,y),d(x_j,z))<1$, el disco de $D(x_j,\max(d(x_j,y),d(x_j,z)))$ contiene $x_1,\dots, x_j$ pero $x_{j+1}\notin D(x_j,r_j)$ . Si usted elige el radio de $\rho$ para $y$ e $z$ lo suficientemente pequeño para que la correspondiente discos no contienen $x_1$, obtendrá una mala configuración.

De hecho, un intento de elegir a$x$ o $y$ como uno de los centros resulta en la exclusión de todos los centros de $x_j$, después de que cubre $x_1$ se pone imposible.

De $x_i$, se puede elegir sólo uno (si $i<j$, a continuación, $x_i\in D(x_j,r_j)$). Pero entonces, si elegimos $x_i$, el punto de $x_{i+1}$ no está cubierto.

Ahora las secuencias. Comience con cualquier $x_1$ muy cerca de $y$ y no en la línea de $yz$ , de modo que $d(x_1,z)<1$. Suponga que $x_1,x_2,\dots x_j$ e $r_1,\dots,r_{j-1}$ ya están construidas y, a decir $j$ es impar, por lo $x_j$ está cerca de a $y$. A continuación, los círculos con centro en el $x_j$ e $x$ contiene $z$ se cruzan en un ángulo, por lo $D(y,1)\setminus \bar D(x_j,d(x_j,z))$ es un conjunto abierto que contiene los puntos arbitrariamente cercanos a $z$. Elija $x_{j+1}$ a ser cualquier punto en que la diferencia que no se encuentran en la línea de $yz$ y satisface $d(y,x_{j+1})\ge 1-d(z,x_{j+1})>\max_{i\le j}d(z,x_i)+d(z,x_{j+1})\ge \max_{i\le j}d(x_i,x_{j+1})$ y elija $r_j$ entre $d(x_j,z)$ e $d(x_j,x_{j+1})$.

Claramente, se puede mantener $x_j$ con índices impares en la distancia $<1/3$ a $y$ y la convergencia de a $y$ y de manera similar para incluso los índices e $z$.

Answer 2

No he comprobado el siguiente, por lo que es un wiki de la comunidad.

Supongamos $K$ es compacto, y supongamos $r_{x}$ es menor semicontinuo, bordeada por encima, y apartó desde cero: $$ 0 < m \leq r_{x} \leq M, $$ y supongamos $M$ es la menor cota superior de. Por lo tanto, este límite alcanzado en algunos $x_{M} \in K$. (Nota: yo no requieren $r_{x}$ a de ser continuo. La atención de los dependientes de la siguiente manera a partir de otras consideraciones.)

En consecuencia, uno tiene $r_{x_{M}} = M$.

Deje $x_{0} = x_{M}$ y dejar $$ K_{1} = K \setminus B(x_{0}, r_{x_{0}}), $$ donde $$ B(x_{0}, r_{x_{0}}) = B(x_{M}, M). $$

La restricción de $r_{x}$ para el conjunto compacto $\overline{K_{1}}$ está delimitado por encima, por lo tanto alcanza su mínimo límite superior en algunos $x_{1} \in \overline{K_{1}}$: $$ r_{x_{1}} = \sup \; \left\{ r_{x} \; : \; x \in \overline{K_{1}} \right\} \leq r_{x_{0}}. $$ Por construcción, $x_{1}$ no es en $B(x_{0}, r_{x_{0}})$, e $x_{0}$ no es en $B(x_{1}, r_{x_{1}})$.

Estamos próximos a poner $$ K_{2} = K_{1} \setminus B(x_{1}, r_{x_{1}}) $$ y elegir un $$ x_{2} \in \overline{K_{2}} $$ y que $r_{x}$ alcanza su mínimo límite superior en $\overline{K_{2}}$. Tenga en cuenta que $B(x_{2}, r_{x_{2}})$ no contiene ni de $x_{1}, x_{2}$, y que $x_{2}$ no está en cualquiera de $B(x_{0}, r_{x_{0}}), B(x_{1}, r_{x_{1}})$. Así, de los tres bolas construido hasta ahora, ninguno contiene el centro de otro.

Después de que en la mayoría de los transfinitely muchas repeticiones de este paso, se obtiene un (posiblemente finito) secuencia $B(x_{i}, r_{x_{i}})$ de bolas donde ninguna de las bolas contiene el centro de otro. Estas bolas constituyen una cubierta de $K$. La extracción, si es necesario, de un número finito de subcover, obtenemos una colección de bolas con la propiedad deseada.