La serie de Taylor lleva a dos funciones diferentes, ¿por qué?

Question

Supongamos, quiero encontrar a una función tal que su expansión en series de Taylor es $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)a^n}$$

Podría empezar con $$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$$

Integrar, sustituto $x\rightarrow \frac{x}{a}$, se multiplica por $a$ y obtener

$$F(x) = -\ln|x-1| = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

$$a F\left(\frac{x}{a}\right) = -a \ln\left|\frac{x}{a}-1\right| = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)a^n}$$

Por otro lado, podría comenzar con subtituting $x \rightarrow \frac{x}{a}$ antes de la integración para obtener

$$\frac{a}{a-x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{a^n}$$

y, a continuación, integrar para obtener $$-a\ln|x-a| = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)a^n}$$

Como se puede ver, los argumentos de $\ln$ no son iguales. A dónde se había ido mal?

Answer 1

Cuando se integra, debe incluir una constante de integración. Lo que se ve aquí es que al integrar las funciones, se obtienen diferentes constantes de integración. Esta es la razón por la que sus respuestas difieren solo en una constante, a saber, $a\ln a$ (puede ver esto utilizando las reglas $\log$ ).

Si cuida los límites o las condiciones de contorno en el paso de integración, entonces las respuestas coincidirán exactamente.