Valor de

Question

Dado

$$\tag1\frac{1}{\omega+a}+\frac{1}{\omega+b}+\frac{1}{\omega+c} = 2\omega^2$$

y

$$\tag2\frac{1}{\omega^2+a}+\frac{1}{\omega^2+b}+\frac{1}{\omega^2+c} = 2\omega$$

¿cuál es el valor de $\displaystyle \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ donde $\omega$ es un complejo de raíz cúbica de la unidad?

Mi Intento:

Multiplicar $(1)$ $\omega$ para obtener

$$\frac{\omega}{\omega+a}+\frac{\omega}{\omega+b}+\frac{\omega}{\omega+c} = 2\omega^3 = 2$$

(debido a que $\omega^3 = 1$).

Después de la simplificación , obtenemos

$$\tag3\frac{a}{\omega+a}+\frac{b}{\omega+b}+\frac{c}{\omega+c} = 1$$

Ahora multiplique $(2)$ $\omega^2$ para obtener

$$\frac{\omega^2}{\omega^2+a}+\frac{\omega^2}{\omega^2+b}+\frac{\omega^2}{\omega^2+c} = 2\omega^3 = 2$$

Después de la simplificación , obtenemos

$$\tag4\frac{a}{\omega^2+a}+\frac{b}{\omega^2+b}+\frac{c}{\omega^2+c} = 1$$

De $(3)$ $(4)$ podemos formar una ecuación de segundo grado cuyas raíces son $x\in\left\{\omega,\omega^2\right\}$

$$\frac{a}{x+a}+\frac{b}{x+b}+\frac{c}{x+c} = 1\\ \begin{align} a\left[x^2+(b+c)x+bc\right]+b\left[x^2+(a+c)x+ac\right]&+c\left[x^2+(a+b)x+ab\right]\\ &=(x+a)(x+b)(x+c)\\ (a+b+c)x^2+2(ab+bc+ca)x+3abc&=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc\\ x^3-(ab+bc+ca)x-2abc&=0 \end{align}$$

¿Cómo puedo solucionar el problema a partir de este punto?

Answer 1

Esto resultó ser un cúbico. Hay tres raíces. Dos de ellos son$x=\omega$ y$x=\omega^2$.
SUGERENCIA: ¿Sabes cómo encontrar la suma de las raíces de un polinomio, sin resolver el polinomio en sí?