Isomorfismos de anillos y sus generadores

Question

Hace tiempo que no toco el álgebra abstracta, así que corregidme si me equivoco: si quisiera construir un isomorfismo entre los anillos de polinomios con coeficientes enteros $\mathbb{Z}[x_1+x_2]\cong \mathbb{Z}[x_1+x_1^{-1}+1]$ identificaría $x_1$ con $x_1$ y $x_2$ con $x_1^{-1}+1$ el isomorfismo explícito $\varphi:\mathbb{Z}[x_1+x_2]\to \mathbb{Z}[x_1+x_1^{-1}+1]$ ser simplemente tomar el generador $\varphi(x_1+x_2)=x_1+x_1^{-1}+1$ ?

También, por favor ténganme un poco de paciencia, pero si quisiera un isomorfismo explícito $\mathbb{Z}[x_1+ x_1^{-1}+x_2+x_2^{-1}+1,2+x_1x_2+x_1x_2^{-1}+x_1+x_1^{-1}x_2+x_1^{-1}x_2^{-1}+x_1^{-1}+x_2+x_2^{-1}]\cong \mathbb{Z}[x_1+x_1^{-1}+x_2+x_2^{-1},1+x_1x_2+x_1x_2^{-1}+x_1^{-1}x_2+x_1^{-1}x_2^{-1}]$ , ¿podría simplemente enviar los generadores entre sí, por ejemplo $x_1+ x_1^{-1}+x_2+x_2^{-1}+1\mapsto x_1+x_1^{-1}+x_2+x_2^{-1}$ y $2+x_1x_2+x_1x_2^{-1}+x_1+x_1^{-1}x_2+x_1^{-1}x_2^{-1}+x_1^{-1}+x_2+x_2^{-1}\mapsto $ $1+x_1x_2+x_1x_2^{-1}+x_1^{-1}x_2+x_1^{-1}x_2^{-1}$ ?

¿Existe acaso otra forma de realizar este isomorfismo?

Answer 1

Creo que tendrás más suerte aquí si eres explícito sobre lo que son estos anillos. Por ejemplo, ¿qué es $\mathbb{Z}[x_1+x_2]$ ? Los anillos polinómicos tienen definiciones muy concretas. Por tanto, debes intentar que todos tus anillos sean subcuocientes (es decir, cocientes de subrings) de anillos polinómicos. Por ejemplo, $\mathbb{Z}[x_1+x_2]$ es el subring del anillo polinómico $\mathbb{Z}[x_1,x_2]$ generado por $x_1+x_2$ . Del mismo modo, $\mathbb{Z}[x_1+x_1^{-1}+1]$ es el subring de $\mathbb{Z}[x_1,x_1^{-1}]$ generado por $x_1+x_1^{-1}+1$ . Se puede definir $\mathbb{Z}[x_1,x_1^{-1}]$ sea el cociente del anillo polinómico $\mathbb{Z}[x_1,y_1]$ por el ideal generado por $x_1y_1-1$ (para que la imagen de $y_1$ en el cociente corresponde a $x_1^{-1}$ ).

Una vez definidos los anillos con precisión, se puede utilizar el hecho de que se puede definir un mapa desde un anillo polinómico (sobre $\mathbb{Z}$ ) a cualquier anillo conmutativo mediante la asignación de los indeterminados a cualquier elemento que desee (esta es una propiedad muy agradable de anillos de polinomios). Para definir un mapa de un cociente de un anillo polinómico a otro anillo conmutativo, puede asignar las indeterminaciones a los elementos que desee, proporcionado que el ideal por el que has cociente se asigna a cero.

Para aplicarlo concretamente a su primera pregunta, existe un mapa de $\mathbb{Z}[x_1,x_2]$ a $\mathbb{Z}[x_1,x_1^{-1}]$ que envía $x_1$ a $x_1$ y $x_2$ a $x_1^{-1}$ . Restringiendo este mapa al subring $\mathbb{Z}[x_1+x_2] \subseteq \mathbb{Z}[x_1,x_2]$ produce un mapa $\mathbb{Z}[x_1+x_2] \to \mathbb{Z}[x_1,x_1^{-1}]$ . Dado que la imagen de este mapa se encuentra en $\mathbb{Z}[x_1 + x_1^{-1}+1]$ (que, por cierto, es igual a $\mathbb{Z}[x_1+x_1^{-1}]$ ), puede restringir el codominio para obtener el mapa que desee. Esto da exactamente el mapa que dijiste: mapea $x_1+x_2$ a $x_1 +x_1^{-1} + 1$ pero justifica por qué existe ese mapa.

Ahora intenta lo mismo con tu segundo mapa. Esto será un poco más complicado, pero la idea es la misma.