Demuestra que 16, 1156, 111556, 11115556, 1111155556 son cuadrados.

Question

Tengo 16 años y estoy estudiando para mi examen de matemáticas que viene este lunes. En el capítulo "secuencias y series", hay este ejercicio:

Demostrar que un entero positivo formado por $k$ veces el dígito 1, seguido de $(k-1)$ por el dígito 5 y terminando en un 6, es el cuadrado de un número entero.

No soy nativo en inglés, así que mi traducción del ejercicio puede ser un poco cutre. Lo que dice es que 16, 1156, 111556, 11115556, 1111155556, etc. son todos cuadrados de números enteros. Se supone que tengo que demostrarlo. Creo que mi principal problema es que no veo la relación entre estos números y las secuencias.
Por supuesto, suponemos que utilizamos un sistema numérico decimal (= base 10)

Puede alguien indicarme la dirección correcta (o simplemente probarlo, si es difícil dar una pista sin dar toda la evidencia). Creo que no puede ser tan difícil, ya que se supone que debo resolverlo.

Por supuesto, al utilizar la palabra "entero", me refiero a "número natural" ( $\in\mathbb{N}$ )

Gracias de antemano.

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Como señaló TMM, las raíces cuadradas son 4, 34, 334, 3334, 33334, etc.

Esta fila viene dada por una de las siguientes descripciones:

• $t_n = t_{n-1} + 3*10^{n-1}$
• $t_n = \lfloor\frac{1}{3}*10^{n}\rfloor + 1$
• $t_n = t_{n-1} * 10 - 6$

Pero, sigo sin ver ningún progreso en mis pruebas. Un ser humano puede ver en estos números un sistema y puede decir que será correcto para $k$ que va a $\infty$ . Pero esto no es suficiente para una prueba matemática.

Answer 1

Mark Bennet ya sugirió considerar los números como series geométricas, así que utilizaré un enfoque ligeramente diferente. En lugar de escribir los cuadrados así, intenta escribirlos de la siguiente manera:

$$\begin{align} 15&.999\ldots = 16 \\ 1155&.999\ldots = 1156 \\ 111555&.999\ldots = 111556 \\ \vdots\end{align}$$

Estos números pueden expresarse como una suma de tres números, de la siguiente manera:

$$\begin{align} 111111&.111\ldots \\ 444&.444\ldots \\ 0&.444\ldots \\ \hline 111555&.999\ldots \end{align}$$

Desde $1/9 = 0.111\ldots$ obtenemos

$$\begin{align} 111111&.111\ldots = \frac{1}{9} \cdot 10^{2k} \\ 444&.444\ldots = \frac{1}{9} \cdot 4 \cdot 10^k \\ 0&.444\ldots = \frac{1}{9} \cdot 4 \\ \hline 111555&.999\ldots = \frac{1}{9} \left(10^{2k} + 4 \cdot 10^k + 4\right). \end{align}$$

Pero esto se puede escribir como un cuadrado:

$$\frac{1}{9} \left(10^{2k} + 4 \cdot 10^k + 4\right) = \left(\frac{10^k + 2}{3}\right)^2.$$

Desde $10^k + 2$ es siempre divisible por $3$ , esto es efectivamente el cuadrado de un número entero.

Answer 2

Esto es lo que obtuve al pensar un poco en ello.

$u_1=16=1+5*10^0+10^1$
$u_2=1156=1+5*10^0+5*10^1+10^2+10^3$
$u_3=111556=1+5*10^0+5*10^1+5*10^2+10^3+10^4+10^5$
$u_k=1+\sum_{n=0}^{k-1} 5*10^n + \sum_{n=k}^{n=2k-1}10^n$
Y $\sum_{n=k}^{n=2k-1}10^n=\sum_{n=0}^{n=2k-1}10^n-\sum_{n=0}^{n=k-1}10^n$

Por la fórmula de la suma de una serie geométrica finita, tenemos: $$u_k=1+5 \frac{10^k-1}{9}+\frac{10^{2k}-1}{9} - \frac{10^k-1}{9}=1+ \frac{4(10^k)-4+10^{2k}-1}{9}$$ Llevando el 1 a la fracción y cancelando, obtenemos $$u_k=\frac{10^{2k}+4(10^k)+4}{9}=\left(\frac{10^k+2}{3}\right)^2$$

Y hemos terminado.

Answer 3

$\rm\begin{eqnarray} {\bf Hint}\ & &\,\ 9\ (\overbrace{11\!\ldots\!11}^{\large \rm k}\overbrace{55\!\ldots\!556}^{\large\rm k}) \\[.2em] &= &\,\ 9\,(\color{#0a0}{11\!\ldots\ldots}\color{#0a0}{\ldots...\! 11} + \smash{\color{#c00}{\overbrace{44\!\ldots\!44}^{\large \rm k}}}\,+\,1) \\[.2em] &=&\rm\ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{#0a0}{10^{\large 2k}-1}\ \ \ +\ \ \ \color{#c00}{4\,(10^{\large k} - 1)}\, +\, 9\\[.2em] &=&\rm\qquad\ \color{#0a0}{10^{\large 2k}} +\, \color{#c00}{4\cdot\!10^{\large k}} +\, 4 \\[.2em] &=&\rm\qquad (10{\large ^k}\ +\ 2)^{\large 2} \end{eqnarray}$

Answer 4

Sugerencia de Mark Bennet parece ser un ganador, así que lo vuelvo a publicar CW:

Sugerencia - intenta escribir el término general en términos sencillos utilizando el hecho de que un bloque de dígitos todos iguales se puede sumar como una progresión geométrica. Así, una secuencia de $k$ '1's es $10^k−1\over9$ y luego ver lo que tienes.

Answer 5

K = 1 $\rightarrow$ $4^2 = 16$
k = 2 $\rightarrow$ $34^2 = 1156$
k = 3 $\rightarrow$ $334^2 = 111556$
k = 4 $\rightarrow$ $3334^2 = 11115556$
etc.

Así que,
la parte izquierda viene dada por: $(\frac{10^k - 1}{9} + 1)^2$
la parte derecha viene dada por: $\frac{10^2k - 1}{9} + 4\frac{10^k - 1}{9} + 1$

calcula ambas partes y verás que son iguales. Ahora se demuestra que el número base de la parte izquierda (que es $\frac{10^k - 1}{9} + 1$ ) es siempre un número entero.