$A\times B\simeq C\times D \implies A\simeq C\text{ or } A\simeq D$

Question

Deje que$A,B,C,D$ sean dominios integrales tales que$A\times B$ es isomorfo para$C\times D$. Demuestre que$A$ es isomorfo a$C$ o$D$.

Normalmente incluyo mis pensamientos sobre el problema, pero no tengo ningún pensamiento sobre este ... Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Deje $\varphi: A \times B \to C \times D$ ser el isomorfismo.

A continuación, $\varphi(A \times \{0\})$ es un ideal de a $C \times D$.

Por la estructura del teorema del ideal de producto, $\varphi(A)$ puede ser expresado en la forma $\mathfrak c \times \mathfrak d$ donde $\mathfrak c$ $\mathfrak d$ son ideales de a $C$ $D$ respectivamente.

Si ambos son distintos de cero, entonces dejando $\varphi(a_c,0) \in C \times \{0\}$ $\varphi(a_d,0) \in \{0\} \times D$ ser el no-trivial de los elementos, podemos ver que $\varphi(a_c a_d, 0) = 0$, lo $a_c = 0$ o $a_d = 0$, contradicción.

Por lo tanto, cualquiera de las $\mathfrak c = 0$ o $\mathfrak d = 0$. En el primer caso, $A \cong D$; en el segundo caso, $A \cong C$.

Answer 2

Insinuación. $A \times B$ tiene exactamente dos ideales que son máximos entre aquellos que consisten únicamente en cero divisores.