Mostrar que $B$ es invertible si $B=A^2-2A+2I$ $A^3=2I$

Question

Si $A$ $40\times 40$ matriz tal que $A^3=2I$ muestran que $B$ es invertible, donde $B=A^2-2A+2I$.

Traté de evaluar $B(A-I)$ , $B(A+I)$ , $B(A-2I)$ ... pero no pude encontrar nada.

Answer 1

Usted puede encontrar la inversa directamente mediante la resolución de $$\left(\alpha A^2+\beta A +\gamma I\right)B=I.$$ Si usted lo hace, usted encontrará que $\alpha = 1/10$, $\beta = 3/10$, y $\gamma = 4/10$. Por lo tanto, $$B^{-1} = \tfrac{1}{10}A^2+\tfrac{3}{10}A+\tfrac{4}{10}I.$$ Esto se puede comprobar fácilmente multiplicando y el uso de la relación $A^{3}=2I$.

Answer 2

Aquí hay algo que yo llamo el "método milagro" para este tipo de problema. Suspender su incredulidad por un momento y supongamos $A$ $B$ fueron escalares, no de las matrices. A continuación, nos gustaría simplemente estar buscando $$ \frac{1}{B} = \frac{1}{A^2 - 2A - 2} = \frac{1}{2}+\frac{A}{2}+\frac{A^2}{4}-\frac{A^4}{8}-\frac{A^5}{8} + \cdots$$ donde en el poder de expansión de la serie, el coeficiente de $A^n$ es $$ c_n = \frac{1+i}{2^{n+2}} \left((1-i)^n-i (1+i)^n\right). $$ Pero sabemos que $A^3 = 2$, por lo que este se convierte en $$ \frac{1}{2}+\frac{A}{2}+\frac{A^2}{4}-\frac{A^4}{8}-\frac{A^5}{8} + \cdots = \frac{1}{2}+\frac{A}{2}+\frac{A^2}{4}-\frac{A}{4}-\frac{A^2}{4} + \cdots $$ y sumando el resultado de los coeficientes en $1$, $A$, y $A^2$, nos encontramos con que $$ \frac{1}{B} = \frac{2}{5} + \frac{3}{10}A + \frac{1}{10}A^2. $$ Ahora, lo que he hecho sólo debe ser absurdo total si $A$ $B$ son realmente las matrices, no escalares. Pero pruebe a establecer $B^{-1} = \frac{2}{5}I + \frac{3}{10}A + \frac{1}{10}A^2$, y usted encontrará que, milagrosamente, esta respuesta obras!

Answer 3

Los autovalores de a $A$ son las raíces cúbicas de $2$. Entonces $$B=(A-(1+i)I)(A-(1-i)I)$$ es una matriz regular.

Answer 4

Usted tiene $$B=A^3+A^2-2A=A(A-I)(A+2I)\ .$$ $A$ es invertible, y desde $$A^3-I=I\qquad\Rightarrow\qquad(A-I)(A^2+A+I)=I$$ y $$A^3+8I=10I\qquad\Rightarrow\qquad(A+2I)(A^2-2A+4I)=10I$$ también se $(A-I)$ $(A+2I)$ es invertible.

Ahora, desde la $B$ es el producto de invertir matrices, es invertible.

Answer 5

Un par de manipulaciones:

$$B=A^2-2A+2I$$ $$A^3 = 2I$$

a continuación,

$$AB = A^3 -2A^2+2A \\= 2I -2A^2+2A \\= -2(A^2-2A+2I)-2A+6I \\= -2B -2A+6I$$

Ahora, el hecho de que $A^3 = 2I$ $A$ es invertible, porque $\det(A) \neq 0$

Por lo tanto,

$$B = -2A^{-1}B-2I+6A^{-1} $$

Tome $B$ a un lado:

$$B(I+2A^{-1}) = -2I+6A^{-1}$$ Multiplicar ambos lados con $A$: $$B(A+2I) = -2A+6I$$

Supongo que esas cantidades serán similares.